Vyřešit frac{21sqrt{15}}{512+5sqrt{3}}

$$\frac { 21 \sqrt { 15 } } { 512 + 5 \sqrt { 3 } }$$

Vyhodnotit

$$\frac{10752\sqrt{15}-315\sqrt{5}}{262069}\approx 0,156210599$$

Postup řešení

Převeďte jmenovatele \frac{21\sqrt{15}}{512+5\sqrt{3}} vynásobením čitatele a jmenovatele 512-5\sqrt{3}.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{\left(512+5\sqrt{3}\right)\left(512-5\sqrt{3}\right)}$$

Zvažte \left(512+5\sqrt{3}\right)\left(512-5\sqrt{3}\right). Násobení je možné převést na rozdíl druhých mocnin pomocí tohoto pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{512^{2}-\left(5\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Výpočtem 512 na 2 získáte 262144.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262144-\left(5\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Roznásobte \left(5\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262144-5^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Výpočtem 5 na 2 získáte 25.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262144-25\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Mocnina hodnoty \sqrt{3} je 3.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262144-25\times 3}$$

Vynásobením 25 a 3 získáte 75.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262144-75}$$

Odečtěte 75 od 262144 a dostanete 262069.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262069}$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 21\sqrt{15} číslem 512-5\sqrt{3}.

$$\frac{10752\sqrt{15}-105\sqrt{3}\sqrt{15}}{262069}$$

Rozložte 15=3\times 5 na součin. Odpište druhou odmocninu produktu \sqrt{3\times 5} jako součin čtvercových kořenových složek \sqrt{3}\sqrt{5}.

$$\frac{10752\sqrt{15}-105\sqrt{3}\sqrt{3}\sqrt{5}}{262069}$$

Vynásobením \sqrt{3} a \sqrt{3} získáte 3.

$$\frac{10752\sqrt{15}-105\times 3\sqrt{5}}{262069}$$

Vynásobením -105 a 3 získáte -315.

$$\frac{10752\sqrt{15}-315\sqrt{5}}{262069}$$