Vyřešit frac{1+sqrt{5}}{sqrt{5}-2}

$$\frac { 1 + \sqrt { 5 } } { \sqrt { 5 } - 2 }$$

Vyhodnotit

$$3\sqrt{5}+7\approx 13,708203932$$

Postup řešení

Převeďte jmenovatele \frac{1+\sqrt{5}}{\sqrt{5}-2} vynásobením čitatele a jmenovatele \sqrt{5}+2.

$$\frac{\left(1+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{5}+2\right)}{\left(\sqrt{5}-2\right)\left(\sqrt{5}+2\right)}$$

Zvažte \left(\sqrt{5}-2\right)\left(\sqrt{5}+2\right). Násobení je možné převést na rozdíl druhých mocnin pomocí tohoto pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(1+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{5}+2\right)}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-2^{2}}$$

Umocněte číslo \sqrt{5} na druhou. Umocněte číslo 2 na druhou.

$$\frac{\left(1+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{5}+2\right)}{5-4}$$

Odečtěte 4 od 5 a dostanete 1.

$$\frac{\left(1+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{5}+2\right)}{1}$$

Vydělením čísla číslem 1 dostaneme číslo samotné.

$$\left(1+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{5}+2\right)$$

S využitím distributivnosti roznásobte každý člen výrazu 1+\sqrt{5} každým členem výrazu \sqrt{5}+2.

$$\sqrt{5}+2+\left(\sqrt{5}\right)^{2}+2\sqrt{5}$$

Mocnina hodnoty \sqrt{5} je 5.

$$\sqrt{5}+2+5+2\sqrt{5}$$

Sečtením 2 a 5 získáte 7.

$$\sqrt{5}+7+2\sqrt{5}$$

Sloučením \sqrt{5} a 2\sqrt{5} získáte 3\sqrt{5}.

$$3\sqrt{5}+7$$