Vyřešit (3+4i)(1+2i)/1+i=

$$\frac { ( 3 + 4 i ) ( 1 + 2 i ) } { 1 + i } =$$

Vyhodnotit

$$\frac{5}{2}+\frac{15}{2}i=2,5+7,5i$$

Postup řešení

Komplexní čísla 3+4i a 1+2i vynásobte podobně, jako násobíte dvojčleny.

$$\frac{3\times 1+3\times \left(2i\right)+4i\times 1+4\times 2i^{2}}{1+i}$$

i^{2} je podle definice -1.

$$\frac{3\times 1+3\times \left(2i\right)+4i\times 1+4\times 2\left(-1\right)}{1+i}$$

Proveďte násobení ve výrazu 3\times 1+3\times \left(2i\right)+4i\times 1+4\times 2\left(-1\right).

$$\frac{3+6i+4i-8}{1+i}$$

Zkombinujte reálné a imaginární části v 3+6i+4i-8.

$$\frac{3-8+\left(6+4\right)i}{1+i}$$

Proveďte součty ve výrazu 3-8+\left(6+4\right)i.

$$\frac{-5+10i}{1+i}$$

Čitatele i jmenovatele vynásobte komplexně sdruženým číslem jmenovatele, 1-i.

$$\frac{\left(-5+10i\right)\left(1-i\right)}{\left(1+i\right)\left(1-i\right)}$$

Násobení je možné převést na rozdíl druhých mocnin pomocí tohoto pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(-5+10i\right)\left(1-i\right)}{1^{2}-i^{2}}$$

i^{2} je podle definice -1. Vypočítejte jmenovatele.

$$\frac{\left(-5+10i\right)\left(1-i\right)}{2}$$

Komplexní čísla -5+10i a 1-i vynásobte podobně, jako násobíte dvojčleny.

$$\frac{-5-5\left(-i\right)+10i\times 1+10\left(-1\right)i^{2}}{2}$$

i^{2} je podle definice -1.

$$\frac{-5-5\left(-i\right)+10i\times 1+10\left(-1\right)\left(-1\right)}{2}$$

Proveďte násobení ve výrazu -5-5\left(-i\right)+10i\times 1+10\left(-1\right)\left(-1\right).

$$\frac{-5+5i+10i+10}{2}$$

Zkombinujte reálné a imaginární části v -5+5i+10i+10.

$$\frac{-5+10+\left(5+10\right)i}{2}$$

Proveďte součty ve výrazu -5+10+\left(5+10\right)i.

$$\frac{5+15i}{2}$$

Vydělte číslo 5+15i číslem 2 a dostanete \frac{5}{2}+\frac{15}{2}i.

$$\frac{5}{2}+\frac{15}{2}i$$

Reálná část

$$\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Postup řešení

Komplexní čísla 3+4i a 1+2i vynásobte podobně, jako násobíte dvojčleny.

$$Re(\frac{3\times 1+3\times \left(2i\right)+4i\times 1+4\times 2i^{2}}{1+i})$$

i^{2} je podle definice -1.

$$Re(\frac{3\times 1+3\times \left(2i\right)+4i\times 1+4\times 2\left(-1\right)}{1+i})$$

Proveďte násobení ve výrazu 3\times 1+3\times \left(2i\right)+4i\times 1+4\times 2\left(-1\right).

$$Re(\frac{3+6i+4i-8}{1+i})$$

Zkombinujte reálné a imaginární části v 3+6i+4i-8.

$$Re(\frac{3-8+\left(6+4\right)i}{1+i})$$

Proveďte součty ve výrazu 3-8+\left(6+4\right)i.

$$Re(\frac{-5+10i}{1+i})$$

Čitatele i jmenovatele (\frac{-5+10i}{1+i}) vynásobte komplexně sdruženým číslem jmenovatele (1-i).

$$Re(\frac{\left(-5+10i\right)\left(1-i\right)}{\left(1+i\right)\left(1-i\right)})$$

Násobení je možné převést na rozdíl druhých mocnin pomocí tohoto pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$Re(\frac{\left(-5+10i\right)\left(1-i\right)}{1^{2}-i^{2}})$$

i^{2} je podle definice -1. Vypočítejte jmenovatele.

$$Re(\frac{\left(-5+10i\right)\left(1-i\right)}{2})$$

Komplexní čísla -5+10i a 1-i vynásobte podobně, jako násobíte dvojčleny.

$$Re(\frac{-5-5\left(-i\right)+10i\times 1+10\left(-1\right)i^{2}}{2})$$

i^{2} je podle definice -1.

$$Re(\frac{-5-5\left(-i\right)+10i\times 1+10\left(-1\right)\left(-1\right)}{2})$$

Proveďte násobení ve výrazu -5-5\left(-i\right)+10i\times 1+10\left(-1\right)\left(-1\right).

$$Re(\frac{-5+5i+10i+10}{2})$$

Zkombinujte reálné a imaginární části v -5+5i+10i+10.

$$Re(\frac{-5+10+\left(5+10\right)i}{2})$$

Proveďte součty ve výrazu -5+10+\left(5+10\right)i.

$$Re(\frac{5+15i}{2})$$

Vydělte číslo 5+15i číslem 2 a dostanete \frac{5}{2}+\frac{15}{2}i.

$$Re(\frac{5}{2}+\frac{15}{2}i)$$

Reálná část čísla \frac{5}{2}+\frac{15}{2}i je \frac{5}{2}.

$$\frac{5}{2}$$