Resol z^6-z^3+1=0

$$z ^ { 6 } - z ^ { 3 } + 1 = 0$$

Resoleu z

$$z\in e^{\frac{5\pi i}{9}},e^{\frac{17\pi i}{9}},e^{\frac{11\pi i}{9}},e^{\frac{13\pi i}{9}},e^{\frac{\pi i}{9}},e^{\frac{7\pi i}{9}}$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Substitueix t per z^{3}.

$$t^{2}-t+1=0$$

Totes les equacions amb el format ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre mitjançant la fórmula quadràtica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substituïu 1 per a, -1 per b i 1 per c a la fórmula quadràtica.

$$t=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Feu els càlculs.

$$t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2}$$

Resoleu l'equació t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2} considerant que ± és el signe més i ± és el signe menys.

$$t=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} t=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

Com que z=t^{3}, les solucions s'obtenen si es resol l'equació per a cada t.

$$z=-e^{\frac{4\pi i}{9}} z=ie^{\frac{5\pi i}{18}} z=e^{\frac{\pi i}{9}} z=-ie^{\frac{7\pi i}{18}} z=-e^{\frac{2\pi i}{9}} z=ie^{\frac{\pi i}{18}}$$