Resol y-3x=2text{and}7x-2y=8

$$y - 3 x = 2 \text { and } 7 x - 2 y = 8$$

Resoleu y, x

$$x=12$$

$$y=38$$

Passos per utilitzar la substitució

Per resoldre un parell d'equacions mitjançant la substitució, en primer lloc resoleu una de les equacions per a una de les variables. A continuació, substituïu el resultat per aquesta variable a l'altra equació.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Trieu una de les equacions i resoleu el valor y mitjançant l'aïllament del valor y al costat esquerre del signe igual.

$$y-3x=2$$

Sumeu 3x als dos costats de l'equació.

$$y=3x+2$$

Substituïu 3x+2 per y a l'altra equació, -2y+7x=8.

$$-2\left(3x+2\right)+7x=8$$

Multipliqueu -2 per 3x+2.

$$-6x-4+7x=8$$

Sumeu -6x i 7x.

$$x-4=8$$

Sumeu 4 als dos costats de l'equació.

$$x=12$$

Substituïu 12 per x a y=3x+2. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular y directament.

$$y=3\times 12+2$$

Multipliqueu 3 per 12.

$$y=36+2$$

Sumeu 2 i 36.

$$y=38$$

El sistema ja funciona correctament.

$$y=38,x=12$$

Passos per utilitzar l'amplificació per menors

Poseu les equacions en forma estàndard i feu servir matrius per resoldre el sistema d'equacions.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Escriviu les equacions en forma de matriu.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu la part esquerra de l'equació per la matriu inversa de la matriu \left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

El producte d'una matriu i la seva inversa és la matriu d'identitat.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius del costat esquerre del signe igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

La matriu inversa de la matriu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) és \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), per tant, l’equació matricial es pot reescriure com un problema de multiplicació de matriu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\times 2+3\times 8\\2\times 2+8\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\12\end{matrix}\right)$$

Extraieu els elements de la matriu y i x.

$$y=38,x=12$$

Passos per utilitzar l'eliminació

Per tal de calcular per eliminació, els coeficients d'una de les variables han de ser els mateixos a les dues equacions per tal que la variable s'anul·li quan una equació es resti de l'altra.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Per igualar y i -2y, multipliqueu tots els termes de cada costat de la primera equació per -2 i tots els termes de cada costat de la segona per 1.

$$-2y-2\left(-3\right)x=-2\times 2,-2y+7x=8$$

Simplifiqueu.

$$-2y+6x=-4,-2y+7x=8$$

Resteu -2y+7x=8 de -2y+6x=-4 mitjançant la resta de termes iguals en cada costat del signe igual.

$$-2y+2y+6x-7x=-4-8$$

Sumeu -2y i 2y. Els termes -2y i 2y s'anul·len, allò que deixa una equació només amb una variable que es pot resoldre.

$$6x-7x=-4-8$$

Sumeu 6x i -7x.

$$-x=-4-8$$

Sumeu -4 i -8.

$$-x=-12$$

Dividiu els dos costats per -1.

$$x=12$$

Substituïu 12 per x a -2y+7x=8. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular y directament.

$$-2y+7\times 12=8$$

Multipliqueu 7 per 12.

$$-2y+84=8$$

Resteu 84 als dos costats de l'equació.

$$-2y=-76$$

Dividiu els dos costats per -2.

$$y=38$$

El sistema ja funciona correctament.

$$y=38,x=12$$