Resol y^2-27y+180=0

$$y ^ { 2 } - 27 y + 180 = 0$$

Resoleu y

$$y=12$$

$$y=15$$

Passos amb factorització

Per resoldre l'equació, el factor y^{2}-27y+180 amb la fórmula y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=-27 ab=180$$

Com que ab és positiu, a i b tenen el mateix inici de sessió. Com que a+b és negatiu, a i b són ambdós negatius. Llista de totes les parelles d'enters que donen 180 de producte.

$$-1,-180 -2,-90 -3,-60 -4,-45 -5,-36 -6,-30 -9,-20 -10,-18 -12,-15$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$-1-180=-181 -2-90=-92 -3-60=-63 -4-45=-49 -5-36=-41 -6-30=-36 -9-20=-29 -10-18=-28 -12-15=-27$$

La solució és la parella que atorga -27 de suma.

$$a=-15 b=-12$$

Torna a escriure l'expressió factoritada \left(y+a\right)\left(y+b\right) fent servir els valors obtinguts.

$$\left(y-15\right)\left(y-12\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu y-15=0 i y-12=0.

$$y=15 y=12$$

Passos amb factorització per agrupació

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a y^{2}+ay+by+180. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=-27 ab=1\times 180=180$$

Com que ab és positiu, a i b tenen el mateix inici de sessió. Com que a+b és negatiu, a i b són ambdós negatius. Llista de totes les parelles d'enters que donen 180 de producte.

$$-1,-180 -2,-90 -3,-60 -4,-45 -5,-36 -6,-30 -9,-20 -10,-18 -12,-15$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$-1-180=-181 -2-90=-92 -3-60=-63 -4-45=-49 -5-36=-41 -6-30=-36 -9-20=-29 -10-18=-28 -12-15=-27$$

La solució és la parella que atorga -27 de suma.

$$a=-15 b=-12$$

Reescriviu y^{2}-27y+180 com a \left(y^{2}-15y\right)+\left(-12y+180\right).

$$\left(y^{2}-15y\right)+\left(-12y+180\right)$$

y al primer grup i -12 al segon grup.

$$y\left(y-15\right)-12\left(y-15\right)$$

Simplifiqueu el terme comú y-15 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(y-15\right)\left(y-12\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu y-15=0 i y-12=0.

$$y=15 y=12$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$y^{2}-27y+180=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 1 per a, -27 per b i 180 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{\left(-27\right)^{2}-4\times 180}}{2}$$

Eleveu -27 al quadrat.

$$y=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-4\times 180}}{2}$$

Multipliqueu -4 per 180.

$$y=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-720}}{2}$$

Sumeu 729 i -720.

$$y=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 9.

$$y=\frac{-\left(-27\right)±3}{2}$$

El contrari de -27 és 27.

$$y=\frac{27±3}{2}$$

Ara resoleu l'equació y=\frac{27±3}{2} quan ± és més. Sumeu 27 i 3.

$$y=\frac{30}{2}$$

Dividiu 30 per 2.

$$y=15$$

Ara resoleu l'equació y=\frac{27±3}{2} quan ± és menys. Resteu 3 de 27.

$$y=\frac{24}{2}$$

Dividiu 24 per 2.

$$y=12$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$y=15 y=12$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-27y+180=0$$

Resteu 180 als dos costats de l'equació.

$$y^{2}-27y+180-180=-180$$

En restar 180 a si mateix s'obté 0.

$$y^{2}-27y=-180$$

Dividiu -27, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir -\frac{27}{2}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre -\frac{27}{2} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$y^{2}-27y+\left(-\frac{27}{2}\right)^{2}=-180+\left(-\frac{27}{2}\right)^{2}$$

Per elevar -\frac{27}{2} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$y^{2}-27y+\frac{729}{4}=-180+\frac{729}{4}$$

Sumeu -180 i \frac{729}{4}.

$$y^{2}-27y+\frac{729}{4}=\frac{9}{4}$$

Factor y^{2}-27y+\frac{729}{4}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{27}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(y-\frac{27}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Simplifiqueu.

$$y-\frac{27}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{27}{2}=-\frac{3}{2}$$

Sumeu \frac{27}{2} als dos costats de l'equació.

$$y=15 y=12$$