Resol y=x+5;quady=3-x

$$y = x + 5 ; \quad y = 3 - x$$

Resoleu y, x

$$x=-1$$

$$y=4$$

Passos per utilitzar la substitució

Fixeu-vos en la primera equació. Resteu x en tots dos costats.

$$y-x=5$$

Fixeu-vos en la segona equació. Afegiu x als dos costats.

$$y+x=3$$

Per resoldre un parell d'equacions mitjançant la substitució, en primer lloc resoleu una de les equacions per a una de les variables. A continuació, substituïu el resultat per aquesta variable a l'altra equació.

$$y-x=5,y+x=3$$

Trieu una de les equacions i resoleu el valor y mitjançant l'aïllament del valor y al costat esquerre del signe igual.

$$y-x=5$$

Sumeu x als dos costats de l'equació.

$$y=x+5$$

Substituïu x+5 per y a l'altra equació, y+x=3.

$$x+5+x=3$$

Sumeu x i x.

$$2x+5=3$$

Resteu 5 als dos costats de l'equació.

$$2x=-2$$

Dividiu els dos costats per 2.

$$x=-1$$

Substituïu -1 per x a y=x+5. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular y directament.

$$y=-1+5$$

Sumeu 5 i -1.

$$y=4$$

El sistema ja funciona correctament.

$$y=4,x=-1$$

Passos per utilitzar l'amplificació per menors

Fixeu-vos en la primera equació. Resteu x en tots dos costats.

$$y-x=5$$

Fixeu-vos en la segona equació. Afegiu x als dos costats.

$$y+x=3$$

Poseu les equacions en forma estàndard i feu servir matrius per resoldre el sistema d'equacions.

$$y-x=5,y+x=3$$

Escriviu les equacions en forma de matriu.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu la part esquerra de l'equació per la matriu inversa de la matriu \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

El producte d'una matriu i la seva inversa és la matriu d'identitat.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius del costat esquerre del signe igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

La matriu inversa de la matriu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) és \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), per tant, l'equació matricial es pot reescriure com un problema de multiplicació de matriu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Extraieu els elements de la matriu y i x.

$$y=4,x=-1$$

Passos per utilitzar l'eliminació

Fixeu-vos en la primera equació. Resteu x en tots dos costats.

$$y-x=5$$

Fixeu-vos en la segona equació. Afegiu x als dos costats.

$$y+x=3$$

Per tal de calcular per eliminació, els coeficients d'una de les variables han de ser els mateixos a les dues equacions per tal que la variable s'anul·li quan una equació es resti de l'altra.

$$y-x=5,y+x=3$$

Resteu y+x=3 de y-x=5 mitjançant la resta de termes iguals en cada costat del signe igual.

$$y-y-x-x=5-3$$

Sumeu y i -y. Els termes y i -y s'anul·len, allò que deixa una equació només amb una variable que es pot resoldre.

$$-x-x=5-3$$

Sumeu -x i -x.

$$-2x=5-3$$

Sumeu 5 i -3.

$$-2x=2$$

Dividiu els dos costats per -2.

$$x=-1$$

Substituïu -1 per x a y+x=3. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular y directament.

$$y-1=3$$

Sumeu 1 als dos costats de l'equació.

$$y=4$$

El sistema ja funciona correctament.

$$y=4,x=-1$$