Resol y=2x-1text{and}2x+y=3

$$y = 2 x - 1 \text { and } 2 x + y = 3$$

Resoleu y, x

$$x=1$$

$$y=1$$

Passos per utilitzar la substitució

Fixeu-vos en la primera equació. Resteu 2x en tots dos costats.

$$y-2x=-1$$

Per resoldre un parell d'equacions mitjançant la substitució, en primer lloc resoleu una de les equacions per a una de les variables. A continuació, substituïu el resultat per aquesta variable a l'altra equació.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Trieu una de les equacions i resoleu el valor y mitjançant l'aïllament del valor y al costat esquerre del signe igual.

$$y-2x=-1$$

Sumeu 2x als dos costats de l'equació.

$$y=2x-1$$

Substituïu 2x-1 per y a l'altra equació, y+2x=3.

$$2x-1+2x=3$$

Sumeu 2x i 2x.

$$4x-1=3$$

Sumeu 1 als dos costats de l'equació.

$$4x=4$$

Dividiu els dos costats per 4.

$$x=1$$

Substituïu 1 per x a y=2x-1. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular y directament.

$$y=2-1$$

Sumeu -1 i 2.

$$y=1$$

El sistema ja funciona correctament.

$$y=1,x=1$$

Passos per utilitzar l'amplificació per menors

Fixeu-vos en la primera equació. Resteu 2x en tots dos costats.

$$y-2x=-1$$

Poseu les equacions en forma estàndard i feu servir matrius per resoldre el sistema d'equacions.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Escriviu les equacions en forma de matriu.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu la part esquerra de l'equació per la matriu inversa de la matriu \left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

El producte d'una matriu i la seva inversa és la matriu d'identitat.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius del costat esquerre del signe igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

La matriu inversa de la matriu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) és \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), per tant, l'equació matricial es pot reescriure com un problema de multiplicació de matriu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Extraieu els elements de la matriu y i x.

$$y=1,x=1$$

Passos per utilitzar l'eliminació

Fixeu-vos en la primera equació. Resteu 2x en tots dos costats.

$$y-2x=-1$$

Per tal de calcular per eliminació, els coeficients d'una de les variables han de ser els mateixos a les dues equacions per tal que la variable s'anul·li quan una equació es resti de l'altra.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Resteu y+2x=3 de y-2x=-1 mitjançant la resta de termes iguals en cada costat del signe igual.

$$y-y-2x-2x=-1-3$$

Sumeu y i -y. Els termes y i -y s'anul·len, allò que deixa una equació només amb una variable que es pot resoldre.

$$-2x-2x=-1-3$$

Sumeu -2x i -2x.

$$-4x=-1-3$$

Sumeu -1 i -3.

$$-4x=-4$$

Dividiu els dos costats per -4.

$$x=1$$

Substituïu 1 per x a y+2x=3. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular y directament.

$$y+2=3$$

Resteu 2 als dos costats de l'equació.

$$y=1$$

El sistema ja funciona correctament.

$$y=1,x=1$$