Resol y=2x+1text{and}x+y=7

$$y = 2 x + 1 \text { and } x + y = 7$$

Resoleu y, x

$$x=2$$

$$y=5$$

Passos per utilitzar la substitució

Fixeu-vos en la primera equació. Resteu 2x en tots dos costats.

$$y-2x=1$$

Per resoldre un parell d'equacions mitjançant la substitució, en primer lloc resoleu una de les equacions per a una de les variables. A continuació, substituïu el resultat per aquesta variable a l'altra equació.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Trieu una de les equacions i resoleu el valor y mitjançant l'aïllament del valor y al costat esquerre del signe igual.

$$y-2x=1$$

Sumeu 2x als dos costats de l'equació.

$$y=2x+1$$

Substituïu 2x+1 per y a l'altra equació, y+x=7.

$$2x+1+x=7$$

Sumeu 2x i x.

$$3x+1=7$$

Resteu 1 als dos costats de l'equació.

$$3x=6$$

Dividiu els dos costats per 3.

$$x=2$$

Substituïu 2 per x a y=2x+1. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular y directament.

$$y=2\times 2+1$$

Multipliqueu 2 per 2.

$$y=4+1$$

Sumeu 1 i 4.

$$y=5$$

El sistema ja funciona correctament.

$$y=5,x=2$$

Passos per utilitzar l'amplificació per menors

Fixeu-vos en la primera equació. Resteu 2x en tots dos costats.

$$y-2x=1$$

Poseu les equacions en forma estàndard i feu servir matrius per resoldre el sistema d'equacions.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Escriviu les equacions en forma de matriu.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu la part esquerra de l'equació per la matriu inversa de la matriu \left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

El producte d'una matriu i la seva inversa és la matriu d'identitat.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius del costat esquerre del signe igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

La matriu inversa de la matriu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) és \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), per tant, l’equació matricial es pot reescriure com un problema de multiplicació de matriu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 7\\-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Extraieu els elements de la matriu y i x.

$$y=5,x=2$$

Passos per utilitzar l'eliminació

Fixeu-vos en la primera equació. Resteu 2x en tots dos costats.

$$y-2x=1$$

Per tal de calcular per eliminació, els coeficients d'una de les variables han de ser els mateixos a les dues equacions per tal que la variable s'anul·li quan una equació es resti de l'altra.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Resteu y+x=7 de y-2x=1 mitjançant la resta de termes iguals en cada costat del signe igual.

$$y-y-2x-x=1-7$$

Sumeu y i -y. Els termes y i -y s'anul·len, allò que deixa una equació només amb una variable que es pot resoldre.

$$-2x-x=1-7$$

Sumeu -2x i -x.

$$-3x=1-7$$

Sumeu 1 i -7.

$$-3x=-6$$

Dividiu els dos costats per -3.

$$x=2$$

Substituïu 2 per x a y+x=7. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular y directament.

$$y+2=7$$

Resteu 2 als dos costats de l'equació.

$$y=5$$

El sistema ja funciona correctament.

$$y=5,x=2$$