Resol y=4/3x-28/3;quady=2x+8

$$y = \frac { 4 } { 3 } x - \frac { 28 } { 3 } ; \quad y = 2 x + 8$$

Resoleu y, x

$$x=-26$$

$$y=-44$$

Passos per utilitzar la substitució

Fixeu-vos en la primera equació. Resteu \frac{4}{3}x en tots dos costats.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Fixeu-vos en la segona equació. Resteu 2x en tots dos costats.

$$y-2x=8$$

Per resoldre un parell d'equacions mitjançant la substitució, en primer lloc resoleu una de les equacions per a una de les variables. A continuació, substituïu el resultat per aquesta variable a l'altra equació.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Trieu una de les equacions i resoleu el valor y mitjançant l'aïllament del valor y al costat esquerre del signe igual.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Sumeu \frac{4x}{3} als dos costats de l'equació.

$$y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}$$

Substituïu \frac{-28+4x}{3} per y a l'altra equació, y-2x=8.

$$\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}-2x=8$$

Sumeu \frac{4x}{3} i -2x.

$$-\frac{2}{3}x-\frac{28}{3}=8$$

Sumeu \frac{28}{3} als dos costats de l'equació.

$$-\frac{2}{3}x=\frac{52}{3}$$

Dividiu els dos costats de l'equació per -\frac{2}{3}, que és el mateix que multiplicar els dos costats pel recíproc de la fracció.

$$x=-26$$

Substituïu -26 per x a y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular y directament.

$$y=\frac{4}{3}\left(-26\right)-\frac{28}{3}$$

Multipliqueu \frac{4}{3} per -26.

$$y=\frac{-104-28}{3}$$

Sumeu -\frac{28}{3} i -\frac{104}{3} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$y=-44$$

El sistema ja funciona correctament.

$$y=-44,x=-26$$

Passos per utilitzar l'amplificació per menors

Fixeu-vos en la primera equació. Resteu \frac{4}{3}x en tots dos costats.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Fixeu-vos en la segona equació. Resteu 2x en tots dos costats.

$$y-2x=8$$

Poseu les equacions en forma estàndard i feu servir matrius per resoldre el sistema d'equacions.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Escriviu les equacions en forma de matriu.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu la part esquerra de l'equació per la matriu inversa de la matriu \left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

El producte d'una matriu i la seva inversa és la matriu d'identitat.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius del costat esquerre del signe igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

La matriu inversa de la matriu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) és \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), per tant, l’equació matricial es pot reescriure com un problema de multiplicació de matriu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&-\frac{-\frac{4}{3}}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-2\\\frac{3}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\left(-\frac{28}{3}\right)-2\times 8\\\frac{3}{2}\left(-\frac{28}{3}\right)-\frac{3}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-44\\-26\end{matrix}\right)$$

Extraieu els elements de la matriu y i x.

$$y=-44,x=-26$$

Passos per utilitzar l'eliminació

Fixeu-vos en la primera equació. Resteu \frac{4}{3}x en tots dos costats.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Fixeu-vos en la segona equació. Resteu 2x en tots dos costats.

$$y-2x=8$$

Per tal de calcular per eliminació, els coeficients d'una de les variables han de ser els mateixos a les dues equacions per tal que la variable s'anul·li quan una equació es resti de l'altra.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Resteu y-2x=8 de y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3} mitjançant la resta de termes iguals en cada costat del signe igual.

$$y-y-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

Sumeu y i -y. Els termes y i -y s'anul·len, allò que deixa una equació només amb una variable que es pot resoldre.

$$-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

Sumeu -\frac{4x}{3} i 2x.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{28}{3}-8$$

Sumeu -\frac{28}{3} i -8.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{52}{3}$$

Dividiu els dos costats de l'equació per \frac{2}{3}, que és el mateix que multiplicar els dos costats pel recíproc de la fracció.

$$x=-26$$

Substituïu -26 per x a y-2x=8. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular y directament.

$$y-2\left(-26\right)=8$$

Multipliqueu -2 per -26.

$$y+52=8$$

Resteu 52 als dos costats de l'equació.

$$y=-44$$

El sistema ja funciona correctament.

$$y=-44,x=-26$$