Resol y=1/3x;quady=60-3x

$$y = \frac { 1 } { 3 } x ; \quad y = 60 - 3 x$$

Resoleu y, x

$$x=18$$

$$y=6$$

Passos per utilitzar la substitució

Fixeu-vos en la primera equació. Resteu \frac{1}{3}x en tots dos costats.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Fixeu-vos en la segona equació. Afegiu 3x als dos costats.

$$y+3x=60$$

Per resoldre un parell d'equacions mitjançant la substitució, en primer lloc resoleu una de les equacions per a una de les variables. A continuació, substituïu el resultat per aquesta variable a l'altra equació.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Trieu una de les equacions i resoleu el valor y mitjançant l'aïllament del valor y al costat esquerre del signe igual.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Sumeu \frac{x}{3} als dos costats de l'equació.

$$y=\frac{1}{3}x$$

Substituïu \frac{x}{3} per y a l'altra equació, y+3x=60.

$$\frac{1}{3}x+3x=60$$

Sumeu \frac{x}{3} i 3x.

$$\frac{10}{3}x=60$$

Dividiu els dos costats de l'equació per \frac{10}{3}, que és el mateix que multiplicar els dos costats pel recíproc de la fracció.

$$x=18$$

Substituïu 18 per x a y=\frac{1}{3}x. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular y directament.

$$y=\frac{1}{3}\times 18$$

Multipliqueu \frac{1}{3} per 18.

$$y=6$$

El sistema ja funciona correctament.

$$y=6,x=18$$

Passos per utilitzar l'amplificació per menors

Fixeu-vos en la primera equació. Resteu \frac{1}{3}x en tots dos costats.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Fixeu-vos en la segona equació. Afegiu 3x als dos costats.

$$y+3x=60$$

Poseu les equacions en forma estàndard i feu servir matrius per resoldre el sistema d'equacions.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Escriviu les equacions en forma de matriu.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu la part esquerra de l'equació per la matriu inversa de la matriu \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

El producte d'una matriu i la seva inversa és la matriu d'identitat.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius del costat esquerre del signe igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

La matriu inversa de la matriu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) és \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), per tant, l’equació matricial es pot reescriure com un problema de multiplicació de matriu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{3}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 60\\\frac{3}{10}\times 60\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Extraieu els elements de la matriu y i x.

$$y=6,x=18$$

Passos per utilitzar l'eliminació

Fixeu-vos en la primera equació. Resteu \frac{1}{3}x en tots dos costats.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Fixeu-vos en la segona equació. Afegiu 3x als dos costats.

$$y+3x=60$$

Per tal de calcular per eliminació, els coeficients d'una de les variables han de ser els mateixos a les dues equacions per tal que la variable s'anul·li quan una equació es resti de l'altra.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Resteu y+3x=60 de y-\frac{1}{3}x=0 mitjançant la resta de termes iguals en cada costat del signe igual.

$$y-y-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Sumeu y i -y. Els termes y i -y s'anul·len, allò que deixa una equació només amb una variable que es pot resoldre.

$$-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Sumeu -\frac{x}{3} i -3x.

$$-\frac{10}{3}x=-60$$

Dividiu els dos costats de l'equació per -\frac{10}{3}, que és el mateix que multiplicar els dos costats pel recíproc de la fracció.

$$x=18$$

Substituïu 18 per x a y+3x=60. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular y directament.

$$y+3\times 18=60$$

Multipliqueu 3 per 18.

$$y+54=60$$

Resteu 54 als dos costats de l'equació.

$$y=6$$

El sistema ja funciona correctament.

$$y=6,x=18$$