Resol x-y=5text{and}5y-4x=7

$$x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Resoleu x, y

$$x=32$$

$$y=27$$

Passos per utilitzar la substitució

Per resoldre un parell d'equacions mitjançant la substitució, en primer lloc resoleu una de les equacions per a una de les variables. A continuació, substituïu el resultat per aquesta variable a l'altra equació.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Trieu una de les equacions i resoleu el valor x mitjançant l'aïllament del valor x al costat esquerre del signe igual.

$$x-y=5$$

Sumeu y als dos costats de l'equació.

$$x=y+5$$

Substituïu y+5 per x a l'altra equació, -4x+5y=7.

$$-4\left(y+5\right)+5y=7$$

Multipliqueu -4 per y+5.

$$-4y-20+5y=7$$

Sumeu -4y i 5y.

$$y-20=7$$

Sumeu 20 als dos costats de l'equació.

$$y=27$$

Substituïu 27 per y a x=y+5. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$x=27+5$$

Sumeu 5 i 27.

$$x=32$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=32,y=27$$

Passos per utilitzar l'amplificació per menors

Poseu les equacions en forma estàndard i feu servir matrius per resoldre el sistema d'equacions.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Escriviu les equacions en forma de matriu.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu la part esquerra de l'equació per la matriu inversa de la matriu \left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

El producte d'una matriu i la seva inversa és la matriu d'identitat.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius del costat esquerre del signe igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

La matriu inversa de la matriu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) és \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), per tant, l’equació matricial es pot reescriure com un problema de multiplicació de matriu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&1\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 5+7\\4\times 5+7\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\27\end{matrix}\right)$$

Extraieu els elements de la matriu x i y.

$$x=32,y=27$$

Passos per utilitzar l'eliminació

Per tal de calcular per eliminació, els coeficients d'una de les variables han de ser els mateixos a les dues equacions per tal que la variable s'anul·li quan una equació es resti de l'altra.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Per igualar x i -4x, multipliqueu tots els termes de cada costat de la primera equació per -4 i tots els termes de cada costat de la segona per 1.

$$-4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,-4x+5y=7$$

Simplifiqueu.

$$-4x+4y=-20,-4x+5y=7$$

Resteu -4x+5y=7 de -4x+4y=-20 mitjançant la resta de termes iguals en cada costat del signe igual.

$$-4x+4x+4y-5y=-20-7$$

Sumeu -4x i 4x. Els termes -4x i 4x s'anul·len, allò que deixa una equació només amb una variable que es pot resoldre.

$$4y-5y=-20-7$$

Sumeu 4y i -5y.

$$-y=-20-7$$

Sumeu -20 i -7.

$$-y=-27$$

Dividiu els dos costats per -1.

$$y=27$$

Substituïu 27 per y a -4x+5y=7. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$-4x+5\times 27=7$$

Multipliqueu 5 per 27.

$$-4x+135=7$$

Resteu 135 als dos costats de l'equació.

$$-4x=-128$$

Dividiu els dos costats per -4.

$$x=32$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=32,y=27$$