Resol x^4+x^2+x+1=(x^2+A)(x^2-1)+Bx+C

$$x ^ { 4 } + x ^ { 2 } + x + 1 = ( x ^ { 2 } + A ) ( x ^ { 2 } - 1 ) + B x + C$$

Resoleu A

$$\left\{\begin{matrix}A=-\frac{-2x^{2}+Bx-x+C-1}{x^{2}-1}\text{, }&|x|\neq 1\\A\in \mathrm{R}\text{, }&\left(B=C-2\text{ and }x=-1\right)\text{ or }\left(B=4-C\text{ and }x=1\right)\end{matrix}\right,$$

Passos per resoldre una equació lineal

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar x^{2}+A per x^{2}-1.

$$x^{4}+x^{2}+x+1=x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C$$

Intercanvieu els costats perquè tots els termes variables estiguin al costat esquerre.

$$x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1$$

Resteu x^{4} en tots dos costats.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1-x^{4}$$

Combineu x^{4} i -x^{4} per obtenir 0.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1$$

Afegiu x^{2} als dos costats.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1+x^{2}$$

Combineu x^{2} i x^{2} per obtenir 2x^{2}.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=2x^{2}+x+1$$

Resteu Bx en tots dos costats.

$$Ax^{2}-A+C=2x^{2}+x+1-Bx$$

Resteu C en tots dos costats.

$$Ax^{2}-A=2x^{2}+x+1-Bx-C$$

Combineu tots els termes que continguin A.

$$\left(x^{2}-1\right)A=2x^{2}+x+1-Bx-C$$

L'equació té la forma estàndard.

$$\left(x^{2}-1\right)A=2x^{2}-Bx+x-C+1$$

Dividiu els dos costats per x^{2}-1.

$$\frac{\left(x^{2}-1\right)A}{x^{2}-1}=\frac{2x^{2}-Bx+x-C+1}{x^{2}-1}$$

En dividir per x^{2}-1 es desfà la multiplicació per x^{2}-1.

$$A=\frac{2x^{2}-Bx+x-C+1}{x^{2}-1}$$

Resoleu B

$$\left\{\begin{matrix}B=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}\text{, }&x\neq 0\\B\in \mathrm{R}\text{, }&A=C-1\text{ and }x=0\end{matrix}\right,$$

Passos per resoldre una equació lineal

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar x^{2}+A per x^{2}-1.

$$x^{4}+x^{2}+x+1=x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C$$

Intercanvieu els costats perquè tots els termes variables estiguin al costat esquerre.

$$x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1$$

Resteu x^{4} en tots dos costats.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1-x^{4}$$

Combineu x^{4} i -x^{4} per obtenir 0.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1$$

Afegiu x^{2} als dos costats.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1+x^{2}$$

Combineu x^{2} i x^{2} per obtenir 2x^{2}.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=2x^{2}+x+1$$

Resteu Ax^{2} en tots dos costats.

$$-A+Bx+C=2x^{2}+x+1-Ax^{2}$$

Afegiu A als dos costats.

$$Bx+C=2x^{2}+x+1-Ax^{2}+A$$

Resteu C en tots dos costats.

$$Bx=2x^{2}+x+1-Ax^{2}+A-C$$

Torneu a ordenar els termes.

$$Bx=-Ax^{2}+2x^{2}+x+A-C+1$$

L'equació té la forma estàndard.

$$xB=1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}$$

Dividiu els dos costats per x.

$$\frac{xB}{x}=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}$$

En dividir per x es desfà la multiplicació per x.

$$B=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}$$