Resol x^2-2x-5<0

$$x ^ { 2 } - 2 x - 5 < 0$$

Resoleu x

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Per resoldre la desigualtat, factoritzeu el costat esquerre. El polinomi quadràtic es pot factoritzar amb la transformació ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), on x_{1} i x_{2} són les solucions de l'equació quadràtica ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-2x-5=0$$

Totes les equacions amb el format ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre mitjançant la fórmula quadràtica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substituïu 1 per a, -2 per b i -5 per c a la fórmula quadràtica.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-5\right)}}{2}$$

Feu els càlculs.

$$x=\frac{2±2\sqrt{6}}{2}$$

Resoleu l'equació x=\frac{2±2\sqrt{6}}{2} considerant que ± és el signe més i ± és el signe menys.

$$x=\sqrt{6}+1 x=1-\sqrt{6}$$

Reescriviu la desigualtat mitjançant les solucions obtingudes.

$$\left(x-\left(\sqrt{6}+1\right)\right)\left(x-\left(1-\sqrt{6}\right)\right)<0$$

Perquè el producte sigui negatiu, x-\left(\sqrt{6}+1\right) i x-\left(1-\sqrt{6}\right) han de ser de signe oposat. Considereu el cas en què x-\left(\sqrt{6}+1\right) és positiu i x-\left(1-\sqrt{6}\right) és negatiu.

$$x-\left(\sqrt{6}+1\right)>0 x-\left(1-\sqrt{6}\right)<0$$

Això és fals per a qualsevol x.

$$x\in \emptyset$$

Considereu el cas en què x-\left(1-\sqrt{6}\right) és positiu i x-\left(\sqrt{6}+1\right) és negatiu.

$$x-\left(1-\sqrt{6}\right)>0 x-\left(\sqrt{6}+1\right)<0$$

La solució que satisfà les dues desigualtats és x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right).

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$

La solució final és la unió de les solucions obtingudes.

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$