Resol x^2+x-42=0

$$x ^ { 2 } + x - 42 = 0$$

Resoleu x

$$x=-7$$

$$x=6$$

Passos amb factorització

Per resoldre l'equació, el factor x^{2}+x-42 amb la fórmula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=1 ab=-42$$

Com que ab és negatiu, a i b tenen els signes oposats. Com que a+b és positiu, el número positiu té més valor absolut que el negatiu. Llista de totes les parelles d'enters que donen -42 de producte.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

La solució és la parella que atorga 1 de suma.

$$a=-6 b=7$$

Torna a escriure l'expressió factoritada \left(x+a\right)\left(x+b\right) fent servir els valors obtinguts.

$$\left(x-6\right)\left(x+7\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu x-6=0 i x+7=0.

$$x=6 x=-7$$

Passos amb factorització per agrupació

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a x^{2}+ax+bx-42. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=1 ab=1\left(-42\right)=-42$$

Com que ab és negatiu, a i b tenen els signes oposats. Com que a+b és positiu, el número positiu té més valor absolut que el negatiu. Llista de totes les parelles d'enters que donen -42 de producte.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

La solució és la parella que atorga 1 de suma.

$$a=-6 b=7$$

Reescriviu x^{2}+x-42 com a \left(x^{2}-6x\right)+\left(7x-42\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(7x-42\right)$$

x al primer grup i 7 al segon grup.

$$x\left(x-6\right)+7\left(x-6\right)$$

Simplifiqueu el terme comú x-6 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(x-6\right)\left(x+7\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu x-6=0 i x+7=0.

$$x=6 x=-7$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$x^{2}+x-42=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 1 per a, 1 per b i -42 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-42\right)}}{2}$$

Eleveu 1 al quadrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-42\right)}}{2}$$

Multipliqueu -4 per -42.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+168}}{2}$$

Sumeu 1 i 168.

$$x=\frac{-1±\sqrt{169}}{2}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 169.

$$x=\frac{-1±13}{2}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{-1±13}{2} quan ± és més. Sumeu -1 i 13.

$$x=\frac{12}{2}$$

Dividiu 12 per 2.

$$x=6$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{-1±13}{2} quan ± és menys. Resteu 13 de -1.

$$x=-\frac{14}{2}$$

Dividiu -14 per 2.

$$x=-7$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$x=6 x=-7$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+x-42=0$$

Sumeu 42 als dos costats de l'equació.

$$x^{2}+x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

En restar -42 a si mateix s'obté 0.

$$x^{2}+x=-\left(-42\right)$$

Resteu -42 de 0.

$$x^{2}+x=42$$

Dividiu 1, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir \frac{1}{2}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre \frac{1}{2} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=42+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Per elevar \frac{1}{2} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=42+\frac{1}{4}$$

Sumeu 42 i \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{169}{4}$$

Factor x^{2}+x+\frac{1}{4}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Simplifiqueu.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{13}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{13}{2}$$

Resteu \frac{1}{2} als dos costats de l'equació.

$$x=6 x=-7$$