Resol x^2+3x-20/x^2+3x=8

$$x ^ { 2 } + 3 x - \frac { 20 } { x ^ { 2 } + 3 x } = 8$$

Resoleu x

$$x=-2$$

$$x=-1$$

$$x=2$$

$$x=-5$$

Passos de solució

La variable x no pot ser igual a cap dels valors -3,0, ja que la divisió per zero no s'ha definit. Multipliqueu els dos costats de l'equació per x\left(x+3\right).

$$x\left(x+3\right)x^{2}+3xx\left(x+3\right)-20=8x\left(x+3\right)$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar x per x+3.

$$\left(x^{2}+3x\right)x^{2}+3xx\left(x+3\right)-20=8x\left(x+3\right)$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar x^{2}+3x per x^{2}.

$$x^{4}+3x^{3}+3xx\left(x+3\right)-20=8x\left(x+3\right)$$

Multipliqueu x per x per obtenir x^{2}.

$$x^{4}+3x^{3}+3x^{2}\left(x+3\right)-20=8x\left(x+3\right)$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 3x^{2} per x+3.

$$x^{4}+3x^{3}+3x^{3}+9x^{2}-20=8x\left(x+3\right)$$

Combineu 3x^{3} i 3x^{3} per obtenir 6x^{3}.

$$x^{4}+6x^{3}+9x^{2}-20=8x\left(x+3\right)$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 8x per x+3.

$$x^{4}+6x^{3}+9x^{2}-20=8x^{2}+24x$$

Resteu 8x^{2} en tots dos costats.

$$x^{4}+6x^{3}+9x^{2}-20-8x^{2}=24x$$

Combineu 9x^{2} i -8x^{2} per obtenir x^{2}.

$$x^{4}+6x^{3}+x^{2}-20=24x$$

Resteu 24x en tots dos costats.

$$x^{4}+6x^{3}+x^{2}-20-24x=0$$

Torneu a ordenar l'equació per posar-la en forma estàndard. Situeu els termes en ordre, de la potència més gran a la més petita.

$$x^{4}+6x^{3}+x^{2}-24x-20=0$$

Per teorema de l'arrel racional, totes les arrels racionals d'un polinomi són de la forma \frac{p}{q}, on p divideix el -20 terme constant i q divideix el coeficient principal 1. Llista de tots els candidats \frac{p}{q}.

$$±20,±10,±5,±4,±2,±1$$

Per cercar una d'aquestes arrels, proveu tots els valors enters, començant pel més petit, per valor absolut. Si no es troba cap arrel d'enter, proveu les fraccions.

$$x=-1$$

Per teorema de factors, x-k és un factor del polinomi per a cada k arrel. Dividiu x^{4}+6x^{3}+x^{2}-24x-20 entre x+1 per obtenir x^{3}+5x^{2}-4x-20. Resoleu l'equació on el resultat és igual a 0.

$$x^{3}+5x^{2}-4x-20=0$$

Per teorema de l'arrel racional, totes les arrels racionals d'un polinomi són de la forma \frac{p}{q}, on p divideix el -20 terme constant i q divideix el coeficient principal 1. Llista de tots els candidats \frac{p}{q}.

$$±20,±10,±5,±4,±2,±1$$

Per cercar una d'aquestes arrels, proveu tots els valors enters, començant pel més petit, per valor absolut. Si no es troba cap arrel d'enter, proveu les fraccions.

$$x=2$$

Per teorema de factors, x-k és un factor del polinomi per a cada k arrel. Dividiu x^{3}+5x^{2}-4x-20 entre x-2 per obtenir x^{2}+7x+10. Resoleu l'equació on el resultat és igual a 0.

$$x^{2}+7x+10=0$$

Totes les equacions amb el format ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre mitjançant la fórmula quadràtica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substituïu 1 per a, 7 per b i 10 per c a la fórmula quadràtica.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\times 10}}{2}$$

Feu els càlculs.

$$x=\frac{-7±3}{2}$$

Resoleu l'equació x^{2}+7x+10=0 considerant que ± és el signe més i ± és el signe menys.

$$x=-5 x=-2$$

Llista de totes les solucions trobades.

$$x=-1 x=2 x=-5 x=-2$$