Resol x+3y=6;5x-2y=13

$$x + 3 y = 6 ; 5 x - 2 y = 13$$

Resoleu x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Passos per utilitzar la substitució

Per resoldre un parell d'equacions mitjançant la substitució, en primer lloc resoleu una de les equacions per a una de les variables. A continuació, substituïu el resultat per aquesta variable a l'altra equació.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Trieu una de les equacions i resoleu el valor x mitjançant l'aïllament del valor x al costat esquerre del signe igual.

$$x+3y=6$$

Resteu 3y als dos costats de l'equació.

$$x=-3y+6$$

Substituïu -3y+6 per x a l'altra equació, 5x-2y=13.

$$5\left(-3y+6\right)-2y=13$$

Multipliqueu 5 per -3y+6.

$$-15y+30-2y=13$$

Sumeu -15y i -2y.

$$-17y+30=13$$

Resteu 30 als dos costats de l'equació.

$$-17y=-17$$

Dividiu els dos costats per -17.

$$y=1$$

Substituïu 1 per y a x=-3y+6. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$x=-3+6$$

Sumeu 6 i -3.

$$x=3$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=3,y=1$$

Passos per utilitzar l'amplificació per menors

Poseu les equacions en forma estàndard i feu servir matrius per resoldre el sistema d'equacions.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Escriviu les equacions en forma de matriu.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu la part esquerra de l'equació per la matriu inversa de la matriu \left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

El producte d'una matriu i la seva inversa és la matriu d'identitat.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius del costat esquerre del signe igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

La matriu inversa de la matriu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) és \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), per tant, l'equació matricial es pot reescriure com un problema de multiplicació de matriu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3\times 5}&-\frac{3}{-2-3\times 5}\\-\frac{5}{-2-3\times 5}&\frac{1}{-2-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\\\frac{5}{17}&-\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 6+\frac{3}{17}\times 13\\\frac{5}{17}\times 6-\frac{1}{17}\times 13\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Extraieu els elements de la matriu x i y.

$$x=3,y=1$$

Passos per utilitzar l'eliminació

Per tal de calcular per eliminació, els coeficients d'una de les variables han de ser els mateixos a les dues equacions per tal que la variable s'anul·li quan una equació es resti de l'altra.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Per igualar x i 5x, multipliqueu tots els termes de cada costat de la primera equació per 5 i tots els termes de cada costat de la segona per 1.

$$5x+5\times 3y=5\times 6,5x-2y=13$$

Simplifiqueu.

$$5x+15y=30,5x-2y=13$$

Resteu 5x-2y=13 de 5x+15y=30 mitjançant la resta de termes iguals en cada costat del signe igual.

$$5x-5x+15y+2y=30-13$$

Sumeu 5x i -5x. Els termes 5x i -5x s'anul·len, allò que deixa una equació només amb una variable que es pot resoldre.

$$15y+2y=30-13$$

Sumeu 15y i 2y.

$$17y=30-13$$

Sumeu 30 i -13.

$$17y=17$$

Dividiu els dos costats per 17.

$$y=1$$

Substituïu 1 per y a 5x-2y=13. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$5x-2=13$$

Sumeu 2 als dos costats de l'equació.

$$5x=15$$

Dividiu els dos costats per 5.

$$x=3$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=3,y=1$$