Resol x+2y=-1;2x-3y=12

$$x + 2 y = - 1 ; 2 x - 3 y = 12$$

Resoleu x, y

$$x=3$$

$$y=-2$$

Passos per utilitzar la substitució

Per resoldre un parell d'equacions mitjançant la substitució, en primer lloc resoleu una de les equacions per a una de les variables. A continuació, substituïu el resultat per aquesta variable a l'altra equació.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

Trieu una de les equacions i resoleu el valor x mitjançant l'aïllament del valor x al costat esquerre del signe igual.

$$x+2y=-1$$

Resteu 2y als dos costats de l'equació.

$$x=-2y-1$$

Substituïu -2y-1 per x a l'altra equació, 2x-3y=12.

$$2\left(-2y-1\right)-3y=12$$

Multipliqueu 2 per -2y-1.

$$-4y-2-3y=12$$

Sumeu -4y i -3y.

$$-7y-2=12$$

Sumeu 2 als dos costats de l'equació.

$$-7y=14$$

Dividiu els dos costats per -7.

$$y=-2$$

Substituïu -2 per y a x=-2y-1. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$x=-2\left(-2\right)-1$$

Multipliqueu -2 per -2.

$$x=4-1$$

Sumeu -1 i 4.

$$x=3$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=3,y=-2$$

Passos per utilitzar l'amplificació per menors

Poseu les equacions en forma estàndard i feu servir matrius per resoldre el sistema d'equacions.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

Escriviu les equacions en forma de matriu.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu la part esquerra de l'equació per la matriu inversa de la matriu \left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

El producte d'una matriu i la seva inversa és la matriu d'identitat.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius del costat esquerre del signe igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

La matriu inversa de la matriu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) és \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), per tant, l’equació matricial es pot reescriure com un problema de multiplicació de matriu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2\times 2}&-\frac{2}{-3-2\times 2}\\-\frac{2}{-3-2\times 2}&\frac{1}{-3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\left(-1\right)+\frac{2}{7}\times 12\\\frac{2}{7}\left(-1\right)-\frac{1}{7}\times 12\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Extraieu els elements de la matriu x i y.

$$x=3,y=-2$$

Passos per utilitzar l'eliminació

Per tal de calcular per eliminació, els coeficients d'una de les variables han de ser els mateixos a les dues equacions per tal que la variable s'anul·li quan una equació es resti de l'altra.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

Per igualar x i 2x, multipliqueu tots els termes de cada costat de la primera equació per 2 i tots els termes de cada costat de la segona per 1.

$$2x+2\times 2y=2\left(-1\right),2x-3y=12$$

Simplifiqueu.

$$2x+4y=-2,2x-3y=12$$

Resteu 2x-3y=12 de 2x+4y=-2 mitjançant la resta de termes iguals en cada costat del signe igual.

$$2x-2x+4y+3y=-2-12$$

Sumeu 2x i -2x. Els termes 2x i -2x s'anul·len, allò que deixa una equació només amb una variable que es pot resoldre.

$$4y+3y=-2-12$$

Sumeu 4y i 3y.

$$7y=-2-12$$

Sumeu -2 i -12.

$$7y=-14$$

Dividiu els dos costats per 7.

$$y=-2$$

Substituïu -2 per y a 2x-3y=12. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$2x-3\left(-2\right)=12$$

Multipliqueu -3 per -2.

$$2x+6=12$$

Resteu 6 als dos costats de l'equació.

$$2x=6$$

Dividiu els dos costats per 2.

$$x=3$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=3,y=-2$$