Resol x+3x+1/2-x-2/3=x^2-2

$$x + \frac { 3 x + 1 } { 2 } - \frac { x - 2 } { 3 } = x ^ { 2 } - 2$$

Resoleu x

$$x=-1$$

$$x = \frac{19}{6} = 3\frac{1}{6} \approx 3,166666667$$

Passos amb factorització per agrupació

Multipliqueu els dos costats de l'equació per 6, el mínim comú múltiple de 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 3 per 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Combineu 6x i 9x per obtenir 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar -2 per x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Combineu 15x i -2x per obtenir 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Sumeu 3 més 4 per obtenir 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Resteu 6x^{2} en tots dos costats.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Afegiu 12 als dos costats.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

Sumeu 7 més 12 per obtenir 19.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Torneu a ordenar el polinomi per posar-lo en forma estàndard. Poseu els termes en ordre, de la potència més gran a la més petita.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a -6x^{2}+ax+bx+19. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=13 ab=-6\times 19=-114$$

Com que ab és negatiu, a i b tenen els signes oposats. Com que a+b és positiu, el número positiu té més valor absolut que el negatiu. Llista de totes les parelles d'enters que donen -114 de producte.

$$-1,114 -2,57 -3,38 -6,19$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$-1+114=113 -2+57=55 -3+38=35 -6+19=13$$

La solució és la parella que atorga 13 de suma.

$$a=19 b=-6$$

Reescriviu -6x^{2}+13x+19 com a \left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right).

$$\left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right)$$

-x al primer grup i -1 al segon grup.

$$-x\left(6x-19\right)-\left(6x-19\right)$$

Simplifiqueu el terme comú 6x-19 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(6x-19\right)\left(-x-1\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu 6x-19=0 i -x-1=0.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Multipliqueu els dos costats de l'equació per 6, el mínim comú múltiple de 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 3 per 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Combineu 6x i 9x per obtenir 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar -2 per x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Combineu 15x i -2x per obtenir 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Sumeu 3 més 4 per obtenir 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Resteu 6x^{2} en tots dos costats.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Afegiu 12 als dos costats.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

Sumeu 7 més 12 per obtenir 19.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu -6 per a, 13 per b i 19 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Eleveu 13 al quadrat.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Multipliqueu -4 per -6.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+24\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Multipliqueu 24 per 19.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+456}}{2\left(-6\right)}$$

Sumeu 169 i 456.

$$x=\frac{-13±\sqrt{625}}{2\left(-6\right)}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 625.

$$x=\frac{-13±25}{2\left(-6\right)}$$

Multipliqueu 2 per -6.

$$x=\frac{-13±25}{-12}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{-13±25}{-12} quan ± és més. Sumeu -13 i 25.

$$x=\frac{12}{-12}$$

Dividiu 12 per -12.

$$x=-1$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{-13±25}{-12} quan ± és menys. Resteu 25 de -13.

$$x=-\frac{38}{-12}$$

Redueix la fracció \frac{-38}{-12} al màxim extraient i anul·lant 2.

$$x=\frac{19}{6}$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$x=-1 x=\frac{19}{6}$$

Passos per calcular el quadrat

Multipliqueu els dos costats de l'equació per 6, el mínim comú múltiple de 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 3 per 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Combineu 6x i 9x per obtenir 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar -2 per x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Combineu 15x i -2x per obtenir 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Sumeu 3 més 4 per obtenir 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Resteu 6x^{2} en tots dos costats.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Resteu 7 en tots dos costats.

$$13x-6x^{2}=-12-7$$

Resteu -12 de 7 per obtenir -19.

$$13x-6x^{2}=-19$$

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$-6x^{2}+13x=-19$$

Dividiu els dos costats per -6.

$$\frac{-6x^{2}+13x}{-6}=-\frac{19}{-6}$$

En dividir per -6 es desfà la multiplicació per -6.

$$x^{2}+\frac{13}{-6}x=-\frac{19}{-6}$$

Dividiu 13 per -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=-\frac{19}{-6}$$

Dividiu -19 per -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=\frac{19}{6}$$

Dividiu -\frac{13}{6}, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir -\frac{13}{12}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre -\frac{13}{12} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{19}{6}+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}$$

Per elevar -\frac{13}{12} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{19}{6}+\frac{169}{144}$$

Sumeu \frac{19}{6} i \frac{169}{144} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{625}{144}$$

Factor x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{625}{144}$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{144}}$$

Simplifiqueu.

$$x-\frac{13}{12}=\frac{25}{12} x-\frac{13}{12}=-\frac{25}{12}$$

Sumeu \frac{13}{12} als dos costats de l'equació.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$