Resol t^2-24t-180=0

$$t ^ { 2 } - 24 t - 180 = 0$$

Resoleu t

$$t=-6$$

$$t=30$$

Passos amb factorització

Per resoldre l'equació, el factor t^{2}-24t-180 amb la fórmula t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right). Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=-24 ab=-180$$

Com que ab és negatiu, a i b tenen els signes oposats. Com que a+b és negatiu, el número negatiu té un valor més absolut que el positiu. Llista de totes les parelles d'enters que donen -180 de producte.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

La solució és la parella que atorga -24 de suma.

$$a=-30 b=6$$

Torna a escriure l'expressió factoritada \left(t+a\right)\left(t+b\right) fent servir els valors obtinguts.

$$\left(t-30\right)\left(t+6\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu t-30=0 i t+6=0.

$$t=30 t=-6$$

Passos amb factorització per agrupació

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a t^{2}+at+bt-180. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=-24 ab=1\left(-180\right)=-180$$

Com que ab és negatiu, a i b tenen els signes oposats. Com que a+b és negatiu, el número negatiu té un valor més absolut que el positiu. Llista de totes les parelles d'enters que donen -180 de producte.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

La solució és la parella que atorga -24 de suma.

$$a=-30 b=6$$

Reescriviu t^{2}-24t-180 com a \left(t^{2}-30t\right)+\left(6t-180\right).

$$\left(t^{2}-30t\right)+\left(6t-180\right)$$

t al primer grup i 6 al segon grup.

$$t\left(t-30\right)+6\left(t-30\right)$$

Simplifiqueu el terme comú t-30 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(t-30\right)\left(t+6\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu t-30=0 i t+6=0.

$$t=30 t=-6$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$t^{2}-24t-180=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 1 per a, -24 per b i -180 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\left(-180\right)}}{2}$$

Eleveu -24 al quadrat.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\left(-180\right)}}{2}$$

Multipliqueu -4 per -180.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+720}}{2}$$

Sumeu 576 i 720.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{1296}}{2}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 1296.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±36}{2}$$

El contrari de -24 és 24.

$$t=\frac{24±36}{2}$$

Ara resoleu l'equació t=\frac{24±36}{2} quan ± és més. Sumeu 24 i 36.

$$t=\frac{60}{2}$$

Dividiu 60 per 2.

$$t=30$$

Ara resoleu l'equació t=\frac{24±36}{2} quan ± és menys. Resteu 36 de 24.

$$t=-\frac{12}{2}$$

Dividiu -12 per 2.

$$t=-6$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$t=30 t=-6$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$t^{2}-24t-180=0$$

Sumeu 180 als dos costats de l'equació.

$$t^{2}-24t-180-\left(-180\right)=-\left(-180\right)$$

En restar -180 a si mateix s'obté 0.

$$t^{2}-24t=-\left(-180\right)$$

Resteu -180 de 0.

$$t^{2}-24t=180$$

Dividiu -24, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir -12. A continuació, sumeu el quadrat del nombre -12 als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$t^{2}-24t+\left(-12\right)^{2}=180+\left(-12\right)^{2}$$

Eleveu -12 al quadrat.

$$t^{2}-24t+144=180+144$$

Sumeu 180 i 144.

$$t^{2}-24t+144=324$$

Factor t^{2}-24t+144. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-12\right)^{2}=324$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(t-12\right)^{2}}=\sqrt{324}$$

Simplifiqueu.

$$t-12=18 t-12=-18$$

Sumeu 12 als dos costats de l'equació.

$$t=30 t=-6$$