Resol n^2-n-210=0

$$n ^ { 2 } - n - 210 = 0$$

Resoleu n

$$n=-14$$

$$n=15$$

Passos amb factorització

Per resoldre l'equació, el factor n^{2}-n-210 amb la fórmula n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=-1 ab=-210$$

Com que ab és negatiu, a i b tenen els signes oposats. Com que a+b és negatiu, el número negatiu té un valor més absolut que el positiu. Llista de totes les parelles d'enters que donen -210 de producte.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

La solució és la parella que atorga -1 de suma.

$$a=-15 b=14$$

Torna a escriure l'expressió factoritada \left(n+a\right)\left(n+b\right) fent servir els valors obtinguts.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu n-15=0 i n+14=0.

$$n=15 n=-14$$

Passos amb factorització per agrupació

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a n^{2}+an+bn-210. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=-1 ab=1\left(-210\right)=-210$$

Com que ab és negatiu, a i b tenen els signes oposats. Com que a+b és negatiu, el número negatiu té un valor més absolut que el positiu. Llista de totes les parelles d'enters que donen -210 de producte.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

La solució és la parella que atorga -1 de suma.

$$a=-15 b=14$$

Reescriviu n^{2}-n-210 com a \left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right)$$

n al primer grup i 14 al segon grup.

$$n\left(n-15\right)+14\left(n-15\right)$$

Simplifiqueu el terme comú n-15 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu n-15=0 i n+14=0.

$$n=15 n=-14$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$n^{2}-n-210=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 1 per a, -1 per b i -210 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-210\right)}}{2}$$

Multipliqueu -4 per -210.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+840}}{2}$$

Sumeu 1 i 840.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{841}}{2}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 841.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±29}{2}$$

El contrari de -1 és 1.

$$n=\frac{1±29}{2}$$

Ara resoleu l'equació n=\frac{1±29}{2} quan ± és més. Sumeu 1 i 29.

$$n=\frac{30}{2}$$

Dividiu 30 per 2.

$$n=15$$

Ara resoleu l'equació n=\frac{1±29}{2} quan ± és menys. Resteu 29 de 1.

$$n=-\frac{28}{2}$$

Dividiu -28 per 2.

$$n=-14$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$n=15 n=-14$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-n-210=0$$

Sumeu 210 als dos costats de l'equació.

$$n^{2}-n-210-\left(-210\right)=-\left(-210\right)$$

En restar -210 a si mateix s'obté 0.

$$n^{2}-n=-\left(-210\right)$$

Resteu -210 de 0.

$$n^{2}-n=210$$

Dividiu -1, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir -\frac{1}{2}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre -\frac{1}{2} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=210+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Per elevar -\frac{1}{2} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=210+\frac{1}{4}$$

Sumeu 210 i \frac{1}{4}.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{841}{4}$$

Factor n^{2}-n+\frac{1}{4}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{841}{4}$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{4}}$$

Simplifiqueu.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{29}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{29}{2}$$

Sumeu \frac{1}{2} als dos costats de l'equació.

$$n=15 n=-14$$