Resol n^2-4019n+2009^2leq0

$$n ^ { 2 } - 4019 n + 2009 ^ { 2 } \leq 0$$

Resoleu n

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Calculeu 2009 elevat a 2 per obtenir 4036081.

$$n^{2}-4019n+4036081\leq 0$$

Per resoldre la desigualtat, factoritzeu el costat esquerre. El polinomi quadràtic es pot factoritzar amb la transformació ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), on x_{1} i x_{2} són les solucions de l'equació quadràtica ax^{2}+bx+c=0.

$$n^{2}-4019n+4036081=0$$

Totes les equacions amb el format ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre mitjançant la fórmula quadràtica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substituïu 1 per a, -4019 per b i 4036081 per c a la fórmula quadràtica.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{\left(-4019\right)^{2}-4\times 1\times 4036081}}{2}$$

Feu els càlculs.

$$n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2}$$

Resoleu l'equació n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2} considerant que ± és el signe més i ± és el signe menys.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$

Reescriviu la desigualtat mitjançant les solucions obtingudes.

$$\left(n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\right)\left(n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\right)\leq 0$$

Perquè el producte sigui ≤0, un dels valors n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} i n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2} ha de ser ≥0 i l'altre, ≤0. Considereu el cas quan n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\geq 0 i n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\leq 0.

$$n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\geq 0 n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\leq 0$$

Això és fals per a qualsevol n.

$$n\in \emptyset$$

Considereu el cas quan n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\leq 0 i n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\geq 0.

$$n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\geq 0 n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\leq 0$$

La solució que satisfà les dues desigualtats és n\in \left[\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\right].

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$

La solució final és la unió de les solucions obtingudes.

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$