Resol f ( x ) = ∫ (from 0 to x) of (t^3+2t^2+1)dt

$$f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( t ^ { 3 } + 2 t ^ { 2 } + 1 ) d t$$

Calcula

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3}+x$$

Passos de solució

Avaluar primer la integral indefinida.

$$\int t^{3}+2t^{2}+1\mathrm{d}t$$

Integreu la suma terme per terme.

$$\int t^{3}\mathrm{d}t+\int 2t^{2}\mathrm{d}t+\int 1\mathrm{d}t$$

Desprotegiu la constant en cadascuna de les condicions.

$$\int t^{3}\mathrm{d}t+2\int t^{2}\mathrm{d}t+\int 1\mathrm{d}t$$

Des de \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} per a k\neq -1, substituïu \int t^{3}\mathrm{d}t amb \frac{t^{4}}{4}.

$$\frac{t^{4}}{4}+2\int t^{2}\mathrm{d}t+\int 1\mathrm{d}t$$

Des de \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} per a k\neq -1, substituïu \int t^{2}\mathrm{d}t amb \frac{t^{3}}{3}. Multipliqueu 2 per \frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{t^{4}}{4}+\frac{2t^{3}}{3}+\int 1\mathrm{d}t$$

Cerqueu la integral de 1 amb l'índex de la regla d'integrals comunes \int a\mathrm{d}t=at.

$$\frac{t^{4}}{4}+\frac{2t^{3}}{3}+t$$

La integral definida d'un polinomi és l'antiderivada de l`expressió avaluada en el límit superior de la integració menys l'antiderivada avaluada en el límit inferior de la integració.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2}{3}x^{3}+x-\left(\frac{0^{4}}{4}+\frac{2}{3}\times 0^{3}+0\right)$$

Simplifiqueu.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3}+x$$

Diferencieu x

$$x^{3}+2x^{2}+1$$