Resol a^2-68a+225leq0

$$a ^ { 2 } - 68 a + 225 \leq 0$$

Resoleu a

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Per resoldre la desigualtat, factoritzeu el costat esquerre. El polinomi quadràtic es pot factoritzar amb la transformació ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), on x_{1} i x_{2} són les solucions de l'equació quadràtica ax^{2}+bx+c=0.

$$a^{2}-68a+225=0$$

Totes les equacions amb el format ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre mitjançant la fórmula quadràtica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substituïu 1 per a, -68 per b i 225 per c a la fórmula quadràtica.

$$a=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{\left(-68\right)^{2}-4\times 1\times 225}}{2}$$

Feu els càlculs.

$$a=\frac{68±14\sqrt{19}}{2}$$

Resoleu l'equació a=\frac{68±14\sqrt{19}}{2} considerant que ± és el signe més i ± és el signe menys.

$$a=7\sqrt{19}+34 a=34-7\sqrt{19}$$

Reescriviu la desigualtat mitjançant les solucions obtingudes.

$$\left(a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\right)\left(a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\right)\leq 0$$

Perquè el producte sigui ≤0, un dels valors a-\left(7\sqrt{19}+34\right) i a-\left(34-7\sqrt{19}\right) ha de ser ≥0 i l'altre, ≤0. Considereu el cas quan a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\geq 0 i a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\leq 0.

$$a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\geq 0 a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\leq 0$$

Això és fals per a qualsevol a.

$$a\in \emptyset$$

Considereu el cas quan a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\leq 0 i a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\geq 0.

$$a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\geq 0 a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\leq 0$$

La solució que satisfà les dues desigualtats és a\in \left[34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\right].

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$

La solució final és la unió de les solucions obtingudes.

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$