Resol I ( x ) = ∫ (from 0 to x) of (t^2-24t+143)dt

$$I ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( t ^ { 2 } - 24 t + 143 ) d t$$

Calcula

$$\frac{x\left(x^{2}-36x+429\right)}{3}$$

Passos de solució

Avaluar primer la integral indefinida.

$$\int t^{2}-24t+143\mathrm{d}t$$

Integreu la suma terme per terme.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t+\int -24t\mathrm{d}t+\int 143\mathrm{d}t$$

Desprotegiu la constant en cadascuna de les condicions.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t-24\int t\mathrm{d}t+\int 143\mathrm{d}t$$

Des de \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} per a k\neq -1, substituïu \int t^{2}\mathrm{d}t amb \frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{t^{3}}{3}-24\int t\mathrm{d}t+\int 143\mathrm{d}t$$

Des de \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} per a k\neq -1, substituïu \int t\mathrm{d}t amb \frac{t^{2}}{2}. Multipliqueu -24 per \frac{t^{2}}{2}.

$$\frac{t^{3}}{3}-12t^{2}+\int 143\mathrm{d}t$$

Cerqueu la integral de 143 amb l'índex de la regla d'integrals comunes \int a\mathrm{d}t=at.

$$\frac{t^{3}}{3}-12t^{2}+143t$$

La integral definida d'un polinomi és l'antiderivada de l`expressió avaluada en el límit superior de la integració menys l'antiderivada avaluada en el límit inferior de la integració.

$$\frac{x^{3}}{3}-12x^{2}+143x-\left(\frac{0^{3}}{3}-12\times 0^{2}+143\times 0\right)$$

Simplifiqueu.

$$\frac{x\left(x^{2}-36x+429\right)}{3}$$

Diferencieu x

$$\left(x-13\right)\left(x-11\right)$$