Resol 9x^2-24x=65

$$9 x ^ { 2 } - 24 x = 65$$

Resoleu x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3} \approx 4,333333333$$

Passos amb factorització per agrupació

Resteu 65 en tots dos costats.

$$9x^{2}-24x-65=0$$

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a 9x^{2}+ax+bx-65. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=-24 ab=9\left(-65\right)=-585$$

Com que ab és negatiu, a i b tenen els signes oposats. Com que a+b és negatiu, el número negatiu té un valor més absolut que el positiu. Llista de totes les parelles d'enters que donen -585 de producte.

$$1,-585 3,-195 5,-117 9,-65 13,-45 15,-39$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$1-585=-584 3-195=-192 5-117=-112 9-65=-56 13-45=-32 15-39=-24$$

La solució és la parella que atorga -24 de suma.

$$a=-39 b=15$$

Reescriviu 9x^{2}-24x-65 com a \left(9x^{2}-39x\right)+\left(15x-65\right).

$$\left(9x^{2}-39x\right)+\left(15x-65\right)$$

3x al primer grup i 5 al segon grup.

$$3x\left(3x-13\right)+5\left(3x-13\right)$$

Simplifiqueu el terme comú 3x-13 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(3x-13\right)\left(3x+5\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu 3x-13=0 i 3x+5=0.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$9x^{2}-24x=65$$

Resteu 65 als dos costats de l'equació.

$$9x^{2}-24x-65=65-65$$

En restar 65 a si mateix s'obté 0.

$$9x^{2}-24x-65=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 9 per a, -24 per b i -65 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 9\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

Eleveu -24 al quadrat.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 9\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

Multipliqueu -4 per 9.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-36\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

Multipliqueu -36 per -65.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+2340}}{2\times 9}$$

Sumeu 576 i 2340.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{2916}}{2\times 9}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 2916.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±54}{2\times 9}$$

El contrari de -24 és 24.

$$x=\frac{24±54}{2\times 9}$$

Multipliqueu 2 per 9.

$$x=\frac{24±54}{18}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{24±54}{18} quan ± és més. Sumeu 24 i 54.

$$x=\frac{78}{18}$$

Redueix la fracció \frac{78}{18} al màxim extraient i anul·lant 6.

$$x=\frac{13}{3}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{24±54}{18} quan ± és menys. Resteu 54 de 24.

$$x=-\frac{30}{18}$$

Redueix la fracció \frac{-30}{18} al màxim extraient i anul·lant 6.

$$x=-\frac{5}{3}$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-24x=65$$

Dividiu els dos costats per 9.

$$\frac{9x^{2}-24x}{9}=\frac{65}{9}$$

En dividir per 9 es desfà la multiplicació per 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{9}\right)x=\frac{65}{9}$$

Redueix la fracció \frac{-24}{9} al màxim extraient i anul·lant 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{65}{9}$$

Dividiu -\frac{8}{3}, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir -\frac{4}{3}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre -\frac{4}{3} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{65}{9}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Per elevar -\frac{4}{3} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{65+16}{9}$$

Sumeu \frac{65}{9} i \frac{16}{9} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=9$$

Factor x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=9$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Simplifiqueu.

$$x-\frac{4}{3}=3 x-\frac{4}{3}=-3$$

Sumeu \frac{4}{3} als dos costats de l'equació.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$