Resol 9x^2-155x-500=0

$$9 x ^ { 2 } - 155 x - 500 = 0$$

Resoleu x

$$x = -\frac{25}{9} = -2\frac{7}{9} \approx -2,777777778$$

$$x=20$$

Passos amb factorització per agrupació

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a 9x^{2}+ax+bx-500. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=-155 ab=9\left(-500\right)=-4500$$

Com que ab és negatiu, a i b tenen els signes oposats. Com que a+b és negatiu, el número negatiu té un valor més absolut que el positiu. Llista de totes les parelles d'enters que donen -4500 de producte.

$$1,-4500 2,-2250 3,-1500 4,-1125 5,-900 6,-750 9,-500 10,-450 12,-375 15,-300 18,-250 20,-225 25,-180 30,-150 36,-125 45,-100 50,-90 60,-75$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$1-4500=-4499 2-2250=-2248 3-1500=-1497 4-1125=-1121 5-900=-895 6-750=-744 9-500=-491 10-450=-440 12-375=-363 15-300=-285 18-250=-232 20-225=-205 25-180=-155 30-150=-120 36-125=-89 45-100=-55 50-90=-40 60-75=-15$$

La solució és la parella que atorga -155 de suma.

$$a=-180 b=25$$

Reescriviu 9x^{2}-155x-500 com a \left(9x^{2}-180x\right)+\left(25x-500\right).

$$\left(9x^{2}-180x\right)+\left(25x-500\right)$$

9x al primer grup i 25 al segon grup.

$$9x\left(x-20\right)+25\left(x-20\right)$$

Simplifiqueu el terme comú x-20 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(x-20\right)\left(9x+25\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu x-20=0 i 9x+25=0.

$$x=20 x=-\frac{25}{9}$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$9x^{2}-155x-500=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 9 per a, -155 per b i -500 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{\left(-155\right)^{2}-4\times 9\left(-500\right)}}{2\times 9}$$

Eleveu -155 al quadrat.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{24025-4\times 9\left(-500\right)}}{2\times 9}$$

Multipliqueu -4 per 9.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{24025-36\left(-500\right)}}{2\times 9}$$

Multipliqueu -36 per -500.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{24025+18000}}{2\times 9}$$

Sumeu 24025 i 18000.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{42025}}{2\times 9}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 42025.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±205}{2\times 9}$$

El contrari de -155 és 155.

$$x=\frac{155±205}{2\times 9}$$

Multipliqueu 2 per 9.

$$x=\frac{155±205}{18}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{155±205}{18} quan ± és més. Sumeu 155 i 205.

$$x=\frac{360}{18}$$

Dividiu 360 per 18.

$$x=20$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{155±205}{18} quan ± és menys. Resteu 205 de 155.

$$x=-\frac{50}{18}$$

Redueix la fracció \frac{-50}{18} al màxim extraient i anul·lant 2.

$$x=-\frac{25}{9}$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$x=20 x=-\frac{25}{9}$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-155x-500=0$$

Sumeu 500 als dos costats de l'equació.

$$9x^{2}-155x-500-\left(-500\right)=-\left(-500\right)$$

En restar -500 a si mateix s'obté 0.

$$9x^{2}-155x=-\left(-500\right)$$

Resteu -500 de 0.

$$9x^{2}-155x=500$$

Dividiu els dos costats per 9.

$$\frac{9x^{2}-155x}{9}=\frac{500}{9}$$

En dividir per 9 es desfà la multiplicació per 9.

$$x^{2}-\frac{155}{9}x=\frac{500}{9}$$

Dividiu -\frac{155}{9}, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir -\frac{155}{18}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre -\frac{155}{18} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$x^{2}-\frac{155}{9}x+\left(-\frac{155}{18}\right)^{2}=\frac{500}{9}+\left(-\frac{155}{18}\right)^{2}$$

Per elevar -\frac{155}{18} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$x^{2}-\frac{155}{9}x+\frac{24025}{324}=\frac{500}{9}+\frac{24025}{324}$$

Sumeu \frac{500}{9} i \frac{24025}{324} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$x^{2}-\frac{155}{9}x+\frac{24025}{324}=\frac{42025}{324}$$

Factor x^{2}-\frac{155}{9}x+\frac{24025}{324}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{155}{18}\right)^{2}=\frac{42025}{324}$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(x-\frac{155}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{42025}{324}}$$

Simplifiqueu.

$$x-\frac{155}{18}=\frac{205}{18} x-\frac{155}{18}=-\frac{205}{18}$$

Sumeu \frac{155}{18} als dos costats de l'equació.

$$x=20 x=-\frac{25}{9}$$