Resol 9n^2-23n+20=3n^2

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

Resoleu n

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Passos amb factorització per agrupació

Resteu 3n^{2} en tots dos costats.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Combineu 9n^{2} i -3n^{2} per obtenir 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a 6n^{2}+an+bn+20. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

Com que ab és positiu, a i b tenen el mateix inici de sessió. Com que a+b és negatiu, a i b són ambdós negatius. Llista de totes les parelles d'enters que donen 120 de producte.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

La solució és la parella que atorga -23 de suma.

$$a=-15 b=-8$$

Reescriviu 6n^{2}-23n+20 com a \left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right).

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

3n al primer grup i -4 al segon grup.

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

Simplifiqueu el terme comú 2n-5 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu 2n-5=0 i 3n-4=0.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Resteu 3n^{2} en tots dos costats.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Combineu 9n^{2} i -3n^{2} per obtenir 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 6 per a, -23 per b i 20 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Eleveu -23 al quadrat.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Multipliqueu -4 per 6.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

Multipliqueu -24 per 20.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

Sumeu 529 i -480.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 49.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

El contrari de -23 és 23.

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

Multipliqueu 2 per 6.

$$n=\frac{23±7}{12}$$

Ara resoleu l'equació n=\frac{23±7}{12} quan ± és més. Sumeu 23 i 7.

$$n=\frac{30}{12}$$

Redueix la fracció \frac{30}{12} al màxim extraient i anul·lant 6.

$$n=\frac{5}{2}$$

Ara resoleu l'equació n=\frac{23±7}{12} quan ± és menys. Resteu 7 de 23.

$$n=\frac{16}{12}$$

Redueix la fracció \frac{16}{12} al màxim extraient i anul·lant 4.

$$n=\frac{4}{3}$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Passos per calcular el quadrat

Resteu 3n^{2} en tots dos costats.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Combineu 9n^{2} i -3n^{2} per obtenir 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Resteu 20 en tots dos costats. Qualsevol valor restat a zero dóna com a resultat la seva negació.

$$6n^{2}-23n=-20$$

Dividiu els dos costats per 6.

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

En dividir per 6 es desfà la multiplicació per 6.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

Redueix la fracció \frac{-20}{6} al màxim extraient i anul·lant 2.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

Dividiu -\frac{23}{6}, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir -\frac{23}{12}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre -\frac{23}{12} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

Per elevar -\frac{23}{12} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

Sumeu -\frac{10}{3} i \frac{529}{144} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

Factor n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Simplifiqueu.

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

Sumeu \frac{23}{12} als dos costats de l'equació.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$