Resol 8n^2-106n-7500=0

$$8 n ^ { 2 } - 106 n - 7500 = 0$$

Resoleu n

$$n = \frac{\sqrt{62809} + 53}{8} \approx 37,952154754$$

$$n=\frac{53-\sqrt{62809}}{8}\approx -24,702154754$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$8n^{2}-106n-7500=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 8 per a, -106 per b i -7500 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{\left(-106\right)^{2}-4\times 8\left(-7500\right)}}{2\times 8}$$

Eleveu -106 al quadrat.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{11236-4\times 8\left(-7500\right)}}{2\times 8}$$

Multipliqueu -4 per 8.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{11236-32\left(-7500\right)}}{2\times 8}$$

Multipliqueu -32 per -7500.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{11236+240000}}{2\times 8}$$

Sumeu 11236 i 240000.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{251236}}{2\times 8}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 251236.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±2\sqrt{62809}}{2\times 8}$$

El contrari de -106 és 106.

$$n=\frac{106±2\sqrt{62809}}{2\times 8}$$

Multipliqueu 2 per 8.

$$n=\frac{106±2\sqrt{62809}}{16}$$

Ara resoleu l'equació n=\frac{106±2\sqrt{62809}}{16} quan ± és més. Sumeu 106 i 2\sqrt{62809}.

$$n=\frac{2\sqrt{62809}+106}{16}$$

Dividiu 106+2\sqrt{62809} per 16.

$$n=\frac{\sqrt{62809}+53}{8}$$

Ara resoleu l'equació n=\frac{106±2\sqrt{62809}}{16} quan ± és menys. Resteu 2\sqrt{62809} de 106.

$$n=\frac{106-2\sqrt{62809}}{16}$$

Dividiu 106-2\sqrt{62809} per 16.

$$n=\frac{53-\sqrt{62809}}{8}$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$n=\frac{\sqrt{62809}+53}{8} n=\frac{53-\sqrt{62809}}{8}$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$8n^{2}-106n-7500=0$$

Sumeu 7500 als dos costats de l'equació.

$$8n^{2}-106n-7500-\left(-7500\right)=-\left(-7500\right)$$

En restar -7500 a si mateix s'obté 0.

$$8n^{2}-106n=-\left(-7500\right)$$

Resteu -7500 de 0.

$$8n^{2}-106n=7500$$

Dividiu els dos costats per 8.

$$\frac{8n^{2}-106n}{8}=\frac{7500}{8}$$

En dividir per 8 es desfà la multiplicació per 8.

$$n^{2}+\left(-\frac{106}{8}\right)n=\frac{7500}{8}$$

Redueix la fracció \frac{-106}{8} al màxim extraient i anul·lant 2.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n=\frac{7500}{8}$$

Redueix la fracció \frac{7500}{8} al màxim extraient i anul·lant 4.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n=\frac{1875}{2}$$

Dividiu -\frac{53}{4}, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir -\frac{53}{8}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre -\frac{53}{8} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n+\left(-\frac{53}{8}\right)^{2}=\frac{1875}{2}+\left(-\frac{53}{8}\right)^{2}$$

Per elevar -\frac{53}{8} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n+\frac{2809}{64}=\frac{1875}{2}+\frac{2809}{64}$$

Sumeu \frac{1875}{2} i \frac{2809}{64} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n+\frac{2809}{64}=\frac{62809}{64}$$

Factor n^{2}-\frac{53}{4}n+\frac{2809}{64}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{53}{8}\right)^{2}=\frac{62809}{64}$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(n-\frac{53}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{62809}{64}}$$

Simplifiqueu.

$$n-\frac{53}{8}=\frac{\sqrt{62809}}{8} n-\frac{53}{8}=-\frac{\sqrt{62809}}{8}$$

Sumeu \frac{53}{8} als dos costats de l'equació.

$$n=\frac{\sqrt{62809}+53}{8} n=\frac{53-\sqrt{62809}}{8}$$