Resol 75x^2+35x-10=0

$$75 x ^ { 2 } + 35 x - 10 = 0$$

Resoleu x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=\frac{1}{5}=0,2$$

Passos amb factorització per agrupació

Dividiu els dos costats per 5.

$$15x^{2}+7x-2=0$$

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a 15x^{2}+ax+bx-2. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=7 ab=15\left(-2\right)=-30$$

Com que ab és negatiu, a i b tenen els signes oposats. Com que a+b és positiu, el número positiu té més valor absolut que el negatiu. Llista de totes les parelles d'enters que donen -30 de producte.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

La solució és la parella que atorga 7 de suma.

$$a=-3 b=10$$

Reescriviu 15x^{2}+7x-2 com a \left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right).

$$\left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right)$$

3x al primer grup i 2 al segon grup.

$$3x\left(5x-1\right)+2\left(5x-1\right)$$

Simplifiqueu el terme comú 5x-1 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(5x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu 5x-1=0 i 3x+2=0.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 75 per a, 35 per b i -10 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-35±\sqrt{35^{2}-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Eleveu 35 al quadrat.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Multipliqueu -4 per 75.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-300\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Multipliqueu -300 per -10.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225+3000}}{2\times 75}$$

Sumeu 1225 i 3000.

$$x=\frac{-35±\sqrt{4225}}{2\times 75}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 4225.

$$x=\frac{-35±65}{2\times 75}$$

Multipliqueu 2 per 75.

$$x=\frac{-35±65}{150}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{-35±65}{150} quan ± és més. Sumeu -35 i 65.

$$x=\frac{30}{150}$$

Redueix la fracció \frac{30}{150} al màxim extraient i anul·lant 30.

$$x=\frac{1}{5}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{-35±65}{150} quan ± és menys. Resteu 65 de -35.

$$x=-\frac{100}{150}$$

Redueix la fracció \frac{-100}{150} al màxim extraient i anul·lant 50.

$$x=-\frac{2}{3}$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Sumeu 10 als dos costats de l'equació.

$$75x^{2}+35x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

En restar -10 a si mateix s'obté 0.

$$75x^{2}+35x=-\left(-10\right)$$

Resteu -10 de 0.

$$75x^{2}+35x=10$$

Dividiu els dos costats per 75.

$$\frac{75x^{2}+35x}{75}=\frac{10}{75}$$

En dividir per 75 es desfà la multiplicació per 75.

$$x^{2}+\frac{35}{75}x=\frac{10}{75}$$

Redueix la fracció \frac{35}{75} al màxim extraient i anul·lant 5.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{10}{75}$$

Redueix la fracció \frac{10}{75} al màxim extraient i anul·lant 5.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{2}{15}$$

Dividiu \frac{7}{15}, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir \frac{7}{30}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre \frac{7}{30} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{2}{15}+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}$$

Per elevar \frac{7}{30} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{2}{15}+\frac{49}{900}$$

Sumeu \frac{2}{15} i \frac{49}{900} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{169}{900}$$

Factor x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{169}{900}$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{900}}$$

Simplifiqueu.

$$x+\frac{7}{30}=\frac{13}{30} x+\frac{7}{30}=-\frac{13}{30}$$

Resteu \frac{7}{30} als dos costats de l'equació.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$