Resol 7x-15y-2=0text{ztal}x+2y=3

$$7 x - 15 y - 2 = 0 \text { ztal } x + 2 y = 3$$

Resoleu x, y

$$x = \frac{49}{29} = 1\frac{20}{29} \approx 1,689655172$$

$$y=\frac{19}{29}\approx 0,655172414$$

Passos per utilitzar la substitució

Per resoldre un parell d'equacions mitjançant la substitució, en primer lloc resoleu una de les equacions per a una de les variables. A continuació, substituïu el resultat per aquesta variable a l'altra equació.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Trieu una de les equacions i resoleu el valor x mitjançant l'aïllament del valor x al costat esquerre del signe igual.

$$7x-15y-2=0$$

Sumeu 2 als dos costats de l'equació.

$$7x-15y=2$$

Sumeu 15y als dos costats de l'equació.

$$7x=15y+2$$

Dividiu els dos costats per 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(15y+2\right)$$

Multipliqueu \frac{1}{7} per 15y+2.

$$x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}$$

Substituïu \frac{15y+2}{7} per x a l'altra equació, x+2y=3.

$$\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}+2y=3$$

Sumeu \frac{15y}{7} i 2y.

$$\frac{29}{7}y+\frac{2}{7}=3$$

Resteu \frac{2}{7} als dos costats de l'equació.

$$\frac{29}{7}y=\frac{19}{7}$$

Dividiu els dos costats de l'equació per \frac{29}{7}, que és el mateix que multiplicar els dos costats pel recíproc de la fracció.

$$y=\frac{19}{29}$$

Substituïu \frac{19}{29} per y a x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$x=\frac{15}{7}\times \frac{19}{29}+\frac{2}{7}$$

Per multiplicar \frac{15}{7} per \frac{19}{29}, multipliqueu el numerador pel numerador i el denominador pel denominador. A continuació, reduïu la fracció als termes més baixos sempre que sigui possible.

$$x=\frac{285}{203}+\frac{2}{7}$$

Sumeu \frac{2}{7} i \frac{285}{203} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$x=\frac{49}{29}$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Passos per utilitzar l'amplificació per menors

Poseu les equacions en forma estàndard i feu servir matrius per resoldre el sistema d'equacions.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Escriviu les equacions en forma de matriu.

$$\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu la part esquerra de l'equació per la matriu inversa de la matriu \left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

El producte d'una matriu i la seva inversa és la matriu d'identitat.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius del costat esquerre del signe igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

La matriu inversa de la matriu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) és \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), per tant, l’equació matricial es pot reescriure com un problema de multiplicació de matriu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-\left(-15\right)}&-\frac{-15}{7\times 2-\left(-15\right)}\\-\frac{1}{7\times 2-\left(-15\right)}&\frac{7}{7\times 2-\left(-15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}&\frac{15}{29}\\-\frac{1}{29}&\frac{7}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}\times 2+\frac{15}{29}\times 3\\-\frac{1}{29}\times 2+\frac{7}{29}\times 3\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{29}\\\frac{19}{29}\end{matrix}\right)$$

Extraieu els elements de la matriu x i y.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Passos per utilitzar l'eliminació

Per tal de calcular per eliminació, els coeficients d'una de les variables han de ser els mateixos a les dues equacions per tal que la variable s'anul·li quan una equació es resti de l'altra.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Per igualar 7x i x, multipliqueu tots els termes de cada costat de la primera equació per 1 i tots els termes de cada costat de la segona per 7.

$$7x-15y-2=0,7x+7\times 2y=7\times 3$$

Simplifiqueu.

$$7x-15y-2=0,7x+14y=21$$

Resteu 7x+14y=21 de 7x-15y-2=0 mitjançant la resta de termes iguals en cada costat del signe igual.

$$7x-7x-15y-14y-2=-21$$

Sumeu 7x i -7x. Els termes 7x i -7x s'anul·len, allò que deixa una equació només amb una variable que es pot resoldre.

$$-15y-14y-2=-21$$

Sumeu -15y i -14y.

$$-29y-2=-21$$

Sumeu 2 als dos costats de l'equació.

$$-29y=-19$$

Dividiu els dos costats per -29.

$$y=\frac{19}{29}$$

Substituïu \frac{19}{29} per y a x+2y=3. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$x+2\times \frac{19}{29}=3$$

Multipliqueu 2 per \frac{19}{29}.

$$x+\frac{38}{29}=3$$

Resteu \frac{38}{29} als dos costats de l'equació.

$$x=\frac{49}{29}$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$