Resol 6x^2+7x-5=0

$$6 { x }^{ 2 } +7x-5 = 0$$

Resoleu x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Passos amb factorització per agrupació

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a 6x^{2}+ax+bx-5. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=7 ab=6\left(-5\right)=-30$$

Com que ab és negatiu, a i b tenen els signes oposats. Com que a+b és positiu, el número positiu té més valor absolut que el negatiu. Llista de totes les parelles d'enters que donen -30 de producte.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

La solució és la parella que atorga 7 de suma.

$$a=-3 b=10$$

Reescriviu 6x^{2}+7x-5 com a \left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right).

$$\left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right)$$

3x al primer grup i 5 al segon grup.

$$3x\left(2x-1\right)+5\left(2x-1\right)$$

Simplifiqueu el terme comú 2x-1 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu 2x-1=0 i 3x+5=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 6 per a, 7 per b i -5 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Eleveu 7 al quadrat.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Multipliqueu -4 per 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Multipliqueu -24 per -5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 6}$$

Sumeu 49 i 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 6}$$

Multipliqueu 2 per 6.

$$x=\frac{-7±13}{12}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{-7±13}{12} quan ± és més. Sumeu -7 i 13.

$$x=\frac{6}{12}$$

Redueix la fracció \frac{6}{12} al màxim extraient i anul·lant 6.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{-7±13}{12} quan ± és menys. Resteu 13 de -7.

$$x=-\frac{20}{12}$$

Redueix la fracció \frac{-20}{12} al màxim extraient i anul·lant 4.

$$x=-\frac{5}{3}$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Sumeu 5 als dos costats de l'equació.

$$6x^{2}+7x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

En restar -5 a si mateix s'obté 0.

$$6x^{2}+7x=-\left(-5\right)$$

Resteu -5 de 0.

$$6x^{2}+7x=5$$

Dividiu els dos costats per 6.

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=\frac{5}{6}$$

En dividir per 6 es desfà la multiplicació per 6.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{5}{6}$$

Dividiu \frac{7}{6}, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir \frac{7}{12}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre \frac{7}{12} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{5}{6}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Per elevar \frac{7}{12} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{5}{6}+\frac{49}{144}$$

Sumeu \frac{5}{6} i \frac{49}{144} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{169}{144}$$

Factor x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

Simplifiqueu.

$$x+\frac{7}{12}=\frac{13}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{13}{12}$$

Resteu \frac{7}{12} als dos costats de l'equació.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$