Resol 6x^2+19x-7=0

$$6 { x }^{ 2 } +19x-7=0$$

Resoleu x

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Passos amb factorització per agrupació

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a 6x^{2}+ax+bx-7. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=19 ab=6\left(-7\right)=-42$$

Com que ab és negatiu, a i b tenen els signes oposats. Com que a+b és positiu, el número positiu té més valor absolut que el negatiu. Llista de totes les parelles d'enters que donen -42 de producte.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

La solució és la parella que atorga 19 de suma.

$$a=-2 b=21$$

Reescriviu 6x^{2}+19x-7 com a \left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right).

$$\left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right)$$

2x al primer grup i 7 al segon grup.

$$2x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

Simplifiqueu el terme comú 3x-1 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(3x-1\right)\left(2x+7\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu 3x-1=0 i 2x+7=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 6 per a, 19 per b i -7 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Eleveu 19 al quadrat.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Multipliqueu -4 per 6.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-24\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Multipliqueu -24 per -7.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+168}}{2\times 6}$$

Sumeu 361 i 168.

$$x=\frac{-19±\sqrt{529}}{2\times 6}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 529.

$$x=\frac{-19±23}{2\times 6}$$

Multipliqueu 2 per 6.

$$x=\frac{-19±23}{12}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{-19±23}{12} quan ± és més. Sumeu -19 i 23.

$$x=\frac{4}{12}$$

Redueix la fracció \frac{4}{12} al màxim extraient i anul·lant 4.

$$x=\frac{1}{3}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{-19±23}{12} quan ± és menys. Resteu 23 de -19.

$$x=-\frac{42}{12}$$

Redueix la fracció \frac{-42}{12} al màxim extraient i anul·lant 6.

$$x=-\frac{7}{2}$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

Sumeu 7 als dos costats de l'equació.

$$6x^{2}+19x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

En restar -7 a si mateix s'obté 0.

$$6x^{2}+19x=-\left(-7\right)$$

Resteu -7 de 0.

$$6x^{2}+19x=7$$

Dividiu els dos costats per 6.

$$\frac{6x^{2}+19x}{6}=\frac{7}{6}$$

En dividir per 6 es desfà la multiplicació per 6.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x=\frac{7}{6}$$

Dividiu \frac{19}{6}, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir \frac{19}{12}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre \frac{19}{12} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{7}{6}+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}$$

Per elevar \frac{19}{12} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{7}{6}+\frac{361}{144}$$

Sumeu \frac{7}{6} i \frac{361}{144} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{529}{144}$$

Factor x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{529}{144}$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{144}}$$

Simplifiqueu.

$$x+\frac{19}{12}=\frac{23}{12} x+\frac{19}{12}=-\frac{23}{12}$$

Resteu \frac{19}{12} als dos costats de l'equació.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$