Resol 53x^2+5x-12<0

$$53 x ^ { 2 } + 5 x - 12 < 0$$

Resoleu x

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{2569}-5}{106},\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right)$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Per resoldre la desigualtat, factoritzeu el costat esquerre. El polinomi quadràtic es pot factoritzar amb la transformació ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), on x_{1} i x_{2} són les solucions de l'equació quadràtica ax^{2}+bx+c=0.

$$53x^{2}+5x-12=0$$

Totes les equacions amb el format ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre mitjançant la fórmula quadràtica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substituïu 53 per a, 5 per b i -12 per c a la fórmula quadràtica.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 53\left(-12\right)}}{2\times 53}$$

Feu els càlculs.

$$x=\frac{-5±\sqrt{2569}}{106}$$

Resoleu l'equació x=\frac{-5±\sqrt{2569}}{106} considerant que ± és el signe més i ± és el signe menys.

$$x=\frac{\sqrt{2569}-5}{106} x=\frac{-\sqrt{2569}-5}{106}$$

Reescriviu la desigualtat mitjançant les solucions obtingudes.

$$53\left(x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right)\left(x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106}\right)<0$$

Perquè el producte sigui negatiu, x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106} i x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106} han de ser de signe oposat. Considereu el cas en què x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106} és positiu i x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106} és negatiu.

$$x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106}>0 x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106}<0$$

Això és fals per a qualsevol x.

$$x\in \emptyset$$

Considereu el cas en què x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106} és positiu i x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106} és negatiu.

$$x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106}>0 x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106}<0$$

La solució que satisfà les dues desigualtats és x\in \left(\frac{-\sqrt{2569}-5}{106},\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right).

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{2569}-5}{106},\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right)$$

La solució final és la unió de les solucions obtingudes.

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{2569}-5}{106},\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right)$$