Resol 5x-2y=1;3x+5y=13

$$5 x - 2 y = 1 ; 3 x + 5 y = 13$$

Resoleu x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Passos per utilitzar la substitució

Per resoldre un parell d'equacions mitjançant la substitució, en primer lloc resoleu una de les equacions per a una de les variables. A continuació, substituïu el resultat per aquesta variable a l'altra equació.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Trieu una de les equacions i resoleu el valor x mitjançant l'aïllament del valor x al costat esquerre del signe igual.

$$5x-2y=1$$

Sumeu 2y als dos costats de l'equació.

$$5x=2y+1$$

Dividiu els dos costats per 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+1\right)$$

Multipliqueu \frac{1}{5} per 2y+1.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}$$

Substituïu \frac{2y+1}{5} per x a l'altra equació, 3x+5y=13.

$$3\left(\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}\right)+5y=13$$

Multipliqueu 3 per \frac{2y+1}{5}.

$$\frac{6}{5}y+\frac{3}{5}+5y=13$$

Sumeu \frac{6y}{5} i 5y.

$$\frac{31}{5}y+\frac{3}{5}=13$$

Resteu \frac{3}{5} als dos costats de l'equació.

$$\frac{31}{5}y=\frac{62}{5}$$

Dividiu els dos costats de l'equació per \frac{31}{5}, que és el mateix que multiplicar els dos costats pel recíproc de la fracció.

$$y=2$$

Substituïu 2 per y a x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$x=\frac{2}{5}\times 2+\frac{1}{5}$$

Multipliqueu \frac{2}{5} per 2.

$$x=\frac{4+1}{5}$$

Sumeu \frac{1}{5} i \frac{4}{5} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$x=1$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=1,y=2$$

Passos per utilitzar l'amplificació per menors

Poseu les equacions en forma estàndard i feu servir matrius per resoldre el sistema d'equacions.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Escriviu les equacions en forma de matriu.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu la part esquerra de l'equació per la matriu inversa de la matriu \left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

El producte d'una matriu i la seva inversa és la matriu d'identitat.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius del costat esquerre del signe igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

La matriu inversa de la matriu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) és \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), per tant, l’equació matricial es pot reescriure com un problema de multiplicació de matriu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{2}{31}\\-\frac{3}{31}&\frac{5}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}+\frac{2}{31}\times 13\\-\frac{3}{31}+\frac{5}{31}\times 13\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Extraieu els elements de la matriu x i y.

$$x=1,y=2$$

Passos per utilitzar l'eliminació

Per tal de calcular per eliminació, els coeficients d'una de les variables han de ser els mateixos a les dues equacions per tal que la variable s'anul·li quan una equació es resti de l'altra.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Per igualar 5x i 3x, multipliqueu tots els termes de cada costat de la primera equació per 3 i tots els termes de cada costat de la segona per 5.

$$3\times 5x+3\left(-2\right)y=3,5\times 3x+5\times 5y=5\times 13$$

Simplifiqueu.

$$15x-6y=3,15x+25y=65$$

Resteu 15x+25y=65 de 15x-6y=3 mitjançant la resta de termes iguals en cada costat del signe igual.

$$15x-15x-6y-25y=3-65$$

Sumeu 15x i -15x. Els termes 15x i -15x s'anul·len, allò que deixa una equació només amb una variable que es pot resoldre.

$$-6y-25y=3-65$$

Sumeu -6y i -25y.

$$-31y=3-65$$

Sumeu 3 i -65.

$$-31y=-62$$

Dividiu els dos costats per -31.

$$y=2$$

Substituïu 2 per y a 3x+5y=13. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$3x+5\times 2=13$$

Multipliqueu 5 per 2.

$$3x+10=13$$

Resteu 10 als dos costats de l'equació.

$$3x=3$$

Dividiu els dos costats per 3.

$$x=1$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=1,y=2$$