Resol 5x^2-7x=24

$$5 x ^ { 2 } - 7 x = 24$$

Resoleu x

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1,6$$

$$x=3$$

Passos amb factorització per agrupació

Resteu 24 en tots dos costats.

$$5x^{2}-7x-24=0$$

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a 5x^{2}+ax+bx-24. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=-7 ab=5\left(-24\right)=-120$$

Com que ab és negatiu, a i b tenen els signes oposats. Com que a+b és negatiu, el número negatiu té un valor més absolut que el positiu. Llista de totes les parelles d'enters que donen -120 de producte.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

La solució és la parella que atorga -7 de suma.

$$a=-15 b=8$$

Reescriviu 5x^{2}-7x-24 com a \left(5x^{2}-15x\right)+\left(8x-24\right).

$$\left(5x^{2}-15x\right)+\left(8x-24\right)$$

5x al primer grup i 8 al segon grup.

$$5x\left(x-3\right)+8\left(x-3\right)$$

Simplifiqueu el terme comú x-3 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(x-3\right)\left(5x+8\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu x-3=0 i 5x+8=0.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$5x^{2}-7x=24$$

Resteu 24 als dos costats de l'equació.

$$5x^{2}-7x-24=24-24$$

En restar 24 a si mateix s'obté 0.

$$5x^{2}-7x-24=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 5 per a, -7 per b i -24 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Eleveu -7 al quadrat.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Multipliqueu -4 per 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-20\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Multipliqueu -20 per -24.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+480}}{2\times 5}$$

Sumeu 49 i 480.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{529}}{2\times 5}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 529.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±23}{2\times 5}$$

El contrari de -7 és 7.

$$x=\frac{7±23}{2\times 5}$$

Multipliqueu 2 per 5.

$$x=\frac{7±23}{10}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{7±23}{10} quan ± és més. Sumeu 7 i 23.

$$x=\frac{30}{10}$$

Dividiu 30 per 10.

$$x=3$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{7±23}{10} quan ± és menys. Resteu 23 de 7.

$$x=-\frac{16}{10}$$

Redueix la fracció \frac{-16}{10} al màxim extraient i anul·lant 2.

$$x=-\frac{8}{5}$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-7x=24$$

Dividiu els dos costats per 5.

$$\frac{5x^{2}-7x}{5}=\frac{24}{5}$$

En dividir per 5 es desfà la multiplicació per 5.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{24}{5}$$

Dividiu -\frac{7}{5}, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir -\frac{7}{10}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre -\frac{7}{10} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{24}{5}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Per elevar -\frac{7}{10} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{24}{5}+\frac{49}{100}$$

Sumeu \frac{24}{5} i \frac{49}{100} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{529}{100}$$

Factor x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{529}{100}$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{100}}$$

Simplifiqueu.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{23}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{23}{10}$$

Sumeu \frac{7}{10} als dos costats de l'equació.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$