Resol 5x+y=36text{and}3x-y=20

$$5 x + y = 36 \text { and } 3 x - y = 20$$

Resoleu x, y

$$x=7$$

$$y=1$$

Passos per utilitzar la substitució

Per resoldre un parell d'equacions mitjançant la substitució, en primer lloc resoleu una de les equacions per a una de les variables. A continuació, substituïu el resultat per aquesta variable a l'altra equació.

$$5x+y=36,3x-y=20$$

Trieu una de les equacions i resoleu el valor x mitjançant l'aïllament del valor x al costat esquerre del signe igual.

$$5x+y=36$$

Resteu y als dos costats de l'equació.

$$5x=-y+36$$

Dividiu els dos costats per 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+36\right)$$

Multipliqueu \frac{1}{5} per -y+36.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{36}{5}$$

Substituïu \frac{-y+36}{5} per x a l'altra equació, 3x-y=20.

$$3\left(-\frac{1}{5}y+\frac{36}{5}\right)-y=20$$

Multipliqueu 3 per \frac{-y+36}{5}.

$$-\frac{3}{5}y+\frac{108}{5}-y=20$$

Sumeu -\frac{3y}{5} i -y.

$$-\frac{8}{5}y+\frac{108}{5}=20$$

Resteu \frac{108}{5} als dos costats de l'equació.

$$-\frac{8}{5}y=-\frac{8}{5}$$

Dividiu els dos costats de l'equació per -\frac{8}{5}, que és el mateix que multiplicar els dos costats pel recíproc de la fracció.

$$y=1$$

Substituïu 1 per y a x=-\frac{1}{5}y+\frac{36}{5}. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$x=\frac{-1+36}{5}$$

Sumeu \frac{36}{5} i -\frac{1}{5} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$x=7$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=7,y=1$$

Passos per utilitzar l'amplificació per menors

Poseu les equacions en forma estàndard i feu servir matrius per resoldre el sistema d'equacions.

$$5x+y=36,3x-y=20$$

Escriviu les equacions en forma de matriu.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}36\\20\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu la part esquerra de l'equació per la matriu inversa de la matriu \left(\begin{matrix}5&1\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\20\end{matrix}\right)$$

El producte d'una matriu i la seva inversa és la matriu d'identitat.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\20\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius del costat esquerre del signe igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\20\end{matrix}\right)$$

La matriu inversa de la matriu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) és \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), per tant, l’equació matricial es pot reescriure com un problema de multiplicació de matriu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-3}&-\frac{1}{5\left(-1\right)-3}\\-\frac{3}{5\left(-1\right)-3}&\frac{5}{5\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\20\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{3}{8}&-\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\20\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 36+\frac{1}{8}\times 20\\\frac{3}{8}\times 36-\frac{5}{8}\times 20\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Extraieu els elements de la matriu x i y.

$$x=7,y=1$$

Passos per utilitzar l'eliminació

Per tal de calcular per eliminació, els coeficients d'una de les variables han de ser els mateixos a les dues equacions per tal que la variable s'anul·li quan una equació es resti de l'altra.

$$5x+y=36,3x-y=20$$

Per igualar 5x i 3x, multipliqueu tots els termes de cada costat de la primera equació per 3 i tots els termes de cada costat de la segona per 5.

$$3\times 5x+3y=3\times 36,5\times 3x+5\left(-1\right)y=5\times 20$$

Simplifiqueu.

$$15x+3y=108,15x-5y=100$$

Resteu 15x-5y=100 de 15x+3y=108 mitjançant la resta de termes iguals en cada costat del signe igual.

$$15x-15x+3y+5y=108-100$$

Sumeu 15x i -15x. Els termes 15x i -15x s'anul·len, allò que deixa una equació només amb una variable que es pot resoldre.

$$3y+5y=108-100$$

Sumeu 3y i 5y.

$$8y=108-100$$

Sumeu 108 i -100.

$$8y=8$$

Dividiu els dos costats per 8.

$$y=1$$

Substituïu 1 per y a 3x-y=20. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$3x-1=20$$

Sumeu 1 als dos costats de l'equació.

$$3x=21$$

Dividiu els dos costats per 3.

$$x=7$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=7,y=1$$