Resol 5u-4v=3;2u-4v-6=0

$$5 u - 4 v = 3 ; 2 u - 4 v - 6 = 0$$

Resoleu u, v

$$u=-1$$

$$v=-2$$

Passos per utilitzar la substitució

Per resoldre un parell d'equacions mitjançant la substitució, en primer lloc resoleu una de les equacions per a una de les variables. A continuació, substituïu el resultat per aquesta variable a l'altra equació.

$$5u-4v=3,2u-4v-6=0$$

Trieu una de les equacions i resoleu el valor u mitjançant l'aïllament del valor u al costat esquerre del signe igual.

$$5u-4v=3$$

Sumeu 4v als dos costats de l'equació.

$$5u=4v+3$$

Dividiu els dos costats per 5.

$$u=\frac{1}{5}\left(4v+3\right)$$

Multipliqueu \frac{1}{5} per 4v+3.

$$u=\frac{4}{5}v+\frac{3}{5}$$

Substituïu \frac{4v+3}{5} per u a l'altra equació, 2u-4v-6=0.

$$2\left(\frac{4}{5}v+\frac{3}{5}\right)-4v-6=0$$

Multipliqueu 2 per \frac{4v+3}{5}.

$$\frac{8}{5}v+\frac{6}{5}-4v-6=0$$

Sumeu \frac{8v}{5} i -4v.

$$-\frac{12}{5}v+\frac{6}{5}-6=0$$

Sumeu \frac{6}{5} i -6.

$$-\frac{12}{5}v-\frac{24}{5}=0$$

Sumeu \frac{24}{5} als dos costats de l'equació.

$$-\frac{12}{5}v=\frac{24}{5}$$

Dividiu els dos costats de l'equació per -\frac{12}{5}, que és el mateix que multiplicar els dos costats pel recíproc de la fracció.

$$v=-2$$

Substituïu -2 per v a u=\frac{4}{5}v+\frac{3}{5}. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular u directament.

$$u=\frac{4}{5}\left(-2\right)+\frac{3}{5}$$

Multipliqueu \frac{4}{5} per -2.

$$u=\frac{-8+3}{5}$$

Sumeu \frac{3}{5} i -\frac{8}{5} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$u=-1$$

El sistema ja funciona correctament.

$$u=-1,v=-2$$

Passos per utilitzar l'amplificació per menors

Poseu les equacions en forma estàndard i feu servir matrius per resoldre el sistema d'equacions.

$$5u-4v=3,2u-4v-6=0$$

Escriviu les equacions en forma de matriu.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu la part esquerra de l'equació per la matriu inversa de la matriu \left(\begin{matrix}5&-4\\2&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

El producte d'una matriu i la seva inversa és la matriu d'identitat.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius del costat esquerre del signe igual.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

La matriu inversa de la matriu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) és \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), per tant, l’equació matricial es pot reescriure com un problema de multiplicació de matriu.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 2\right)}&\frac{5}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{6}&-\frac{5}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 3-\frac{1}{3}\times 6\\\frac{1}{6}\times 3-\frac{5}{12}\times 6\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Extraieu els elements de la matriu u i v.

$$u=-1,v=-2$$

Passos per utilitzar l'eliminació

Per tal de calcular per eliminació, els coeficients d'una de les variables han de ser els mateixos a les dues equacions per tal que la variable s'anul·li quan una equació es resti de l'altra.

$$5u-4v=3,2u-4v-6=0$$

Resteu 2u-4v-6=0 de 5u-4v=3 mitjançant la resta de termes iguals en cada costat del signe igual.

$$5u-2u-4v+4v+6=3$$

Sumeu -4v i 4v. Els termes -4v i 4v s'anul·len, allò que deixa una equació només amb una variable que es pot resoldre.

$$5u-2u+6=3$$

Sumeu 5u i -2u.

$$3u+6=3$$

Resteu 6 als dos costats de l'equació.

$$3u=-3$$

Dividiu els dos costats per 3.

$$u=-1$$

Substituïu -1 per u a 2u-4v-6=0. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular v directament.

$$2\left(-1\right)-4v-6=0$$

Multipliqueu 2 per -1.

$$-2-4v-6=0$$

Sumeu -2 i -6.

$$-4v-8=0$$

Sumeu 8 als dos costats de l'equació.

$$-4v=8$$

Dividiu els dos costats per -4.

$$v=-2$$

El sistema ja funciona correctament.

$$u=-1,v=-2$$