Resol 5x^2-x-2184=0

$$5 { x }^{ 2 } -x-2184=0$$

Resoleu x

$$x = -\frac{104}{5} = -20\frac{4}{5} = -20,8$$

$$x=21$$

Passos amb factorització per agrupació

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a 5x^{2}+ax+bx-2184. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=-1 ab=5\left(-2184\right)=-10920$$

Com que ab és negatiu, a i b tenen els signes oposats. Com que a+b és negatiu, el número negatiu té un valor més absolut que el positiu. Llista de totes les parelles d'enters que donen -10920 de producte.

$$1,-10920 2,-5460 3,-3640 4,-2730 5,-2184 6,-1820 7,-1560 8,-1365 10,-1092 12,-910 13,-840 14,-780 15,-728 20,-546 21,-520 24,-455 26,-420 28,-390 30,-364 35,-312 39,-280 40,-273 42,-260 52,-210 56,-195 60,-182 65,-168 70,-156 78,-140 84,-130 91,-120 104,-105$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$1-10920=-10919 2-5460=-5458 3-3640=-3637 4-2730=-2726 5-2184=-2179 6-1820=-1814 7-1560=-1553 8-1365=-1357 10-1092=-1082 12-910=-898 13-840=-827 14-780=-766 15-728=-713 20-546=-526 21-520=-499 24-455=-431 26-420=-394 28-390=-362 30-364=-334 35-312=-277 39-280=-241 40-273=-233 42-260=-218 52-210=-158 56-195=-139 60-182=-122 65-168=-103 70-156=-86 78-140=-62 84-130=-46 91-120=-29 104-105=-1$$

La solució és la parella que atorga -1 de suma.

$$a=-105 b=104$$

Reescriviu 5x^{2}-x-2184 com a \left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right).

$$\left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right)$$

5x al primer grup i 104 al segon grup.

$$5x\left(x-21\right)+104\left(x-21\right)$$

Simplifiqueu el terme comú x-21 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(x-21\right)\left(5x+104\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu x-21=0 i 5x+104=0.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 5 per a, -1 per b i -2184 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Multipliqueu -4 per 5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Multipliqueu -20 per -2184.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+43680}}{2\times 5}$$

Sumeu 1 i 43680.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{43681}}{2\times 5}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 43681.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±209}{2\times 5}$$

El contrari de -1 és 1.

$$x=\frac{1±209}{2\times 5}$$

Multipliqueu 2 per 5.

$$x=\frac{1±209}{10}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{1±209}{10} quan ± és més. Sumeu 1 i 209.

$$x=\frac{210}{10}$$

Dividiu 210 per 10.

$$x=21$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{1±209}{10} quan ± és menys. Resteu 209 de 1.

$$x=-\frac{208}{10}$$

Redueix la fracció \frac{-208}{10} al màxim extraient i anul·lant 2.

$$x=-\frac{104}{5}$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Sumeu 2184 als dos costats de l'equació.

$$5x^{2}-x-2184-\left(-2184\right)=-\left(-2184\right)$$

En restar -2184 a si mateix s'obté 0.

$$5x^{2}-x=-\left(-2184\right)$$

Resteu -2184 de 0.

$$5x^{2}-x=2184$$

Dividiu els dos costats per 5.

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=\frac{2184}{5}$$

En dividir per 5 es desfà la multiplicació per 5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{2184}{5}$$

Dividiu -\frac{1}{5}, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir -\frac{1}{10}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre -\frac{1}{10} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{2184}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Per elevar -\frac{1}{10} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{2184}{5}+\frac{1}{100}$$

Sumeu \frac{2184}{5} i \frac{1}{100} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{43681}{100}$$

Factor x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{43681}{100}$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{43681}{100}}$$

Simplifiqueu.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{209}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{209}{10}$$

Sumeu \frac{1}{10} als dos costats de l'equació.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$