Resol 5x^2-29x-42=0

$$5 { x }^{ 2 } -29x-42=0$$

Resoleu x

$$x = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1,2$$

$$x=7$$

Passos amb factorització per agrupació

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a 5x^{2}+ax+bx-42. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=-29 ab=5\left(-42\right)=-210$$

Com que ab és negatiu, a i b tenen els signes oposats. Com que a+b és negatiu, el número negatiu té un valor més absolut que el positiu. Llista de totes les parelles d'enters que donen -210 de producte.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

La solució és la parella que atorga -29 de suma.

$$a=-35 b=6$$

Reescriviu 5x^{2}-29x-42 com a \left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right).

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right)$$

5x al primer grup i 6 al segon grup.

$$5x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

Simplifiqueu el terme comú x-7 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(x-7\right)\left(5x+6\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu x-7=0 i 5x+6=0.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 5 per a, -29 per b i -42 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Eleveu -29 al quadrat.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Multipliqueu -4 per 5.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-20\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Multipliqueu -20 per -42.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 5}$$

Sumeu 841 i 840.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 5}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 1681.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 5}$$

El contrari de -29 és 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 5}$$

Multipliqueu 2 per 5.

$$x=\frac{29±41}{10}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{29±41}{10} quan ± és més. Sumeu 29 i 41.

$$x=\frac{70}{10}$$

Dividiu 70 per 10.

$$x=7$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{29±41}{10} quan ± és menys. Resteu 41 de 29.

$$x=-\frac{12}{10}$$

Redueix la fracció \frac{-12}{10} al màxim extraient i anul·lant 2.

$$x=-\frac{6}{5}$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Sumeu 42 als dos costats de l'equació.

$$5x^{2}-29x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

En restar -42 a si mateix s'obté 0.

$$5x^{2}-29x=-\left(-42\right)$$

Resteu -42 de 0.

$$5x^{2}-29x=42$$

Dividiu els dos costats per 5.

$$\frac{5x^{2}-29x}{5}=\frac{42}{5}$$

En dividir per 5 es desfà la multiplicació per 5.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x=\frac{42}{5}$$

Dividiu -\frac{29}{5}, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir -\frac{29}{10}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre -\frac{29}{10} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{42}{5}+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}$$

Per elevar -\frac{29}{10} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{42}{5}+\frac{841}{100}$$

Sumeu \frac{42}{5} i \frac{841}{100} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{1681}{100}$$

Factor x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{1681}{100}$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{100}}$$

Simplifiqueu.

$$x-\frac{29}{10}=\frac{41}{10} x-\frac{29}{10}=-\frac{41}{10}$$

Sumeu \frac{29}{10} als dos costats de l'equació.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$