Resol 5x^2+9<6x^2+7x

$$5 { x }^{ 2 } +9 < 6 { x }^{ 2 } +7x$$

Resoleu x

$$x\in \left(-\infty,\frac{-\sqrt{85}-7}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{85}-7}{2},\infty\right)$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Resteu 6x^{2} en tots dos costats.

$$5x^{2}+9-6x^{2}<7x$$

Combineu 5x^{2} i -6x^{2} per obtenir -x^{2}.

$$-x^{2}+9<7x$$

Resteu 7x en tots dos costats.

$$-x^{2}+9-7x<0$$

Multipliqueu la desigualtat per -1 per fer que el coeficient de la màxima potència a -x^{2}+9-7x sigui positiu. Com que -1 és negatiu, es canvia la direcció de la desigualtat.

$$x^{2}-9+7x>0$$

Per resoldre la desigualtat, factoritzeu el costat esquerre. El polinomi quadràtic es pot factoritzar amb la transformació ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), on x_{1} i x_{2} són les solucions de l'equació quadràtica ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-9+7x=0$$

Totes les equacions amb el format ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre mitjançant la fórmula quadràtica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substituïu 1 per a, 7 per b i -9 per c a la fórmula quadràtica.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\left(-9\right)}}{2}$$

Feu els càlculs.

$$x=\frac{-7±\sqrt{85}}{2}$$

Resoleu l'equació x=\frac{-7±\sqrt{85}}{2} considerant que ± és el signe més i ± és el signe menys.

$$x=\frac{\sqrt{85}-7}{2} x=\frac{-\sqrt{85}-7}{2}$$

Reescriviu la desigualtat mitjançant les solucions obtingudes.

$$\left(x-\frac{\sqrt{85}-7}{2}\right)\left(x-\frac{-\sqrt{85}-7}{2}\right)>0$$

Perquè el producte sigui positiu, tant x-\frac{\sqrt{85}-7}{2} com x-\frac{-\sqrt{85}-7}{2} han de ser negatius o positius. Considereu el cas en què x-\frac{\sqrt{85}-7}{2} i x-\frac{-\sqrt{85}-7}{2} són negatius.

$$x-\frac{\sqrt{85}-7}{2}<0 x-\frac{-\sqrt{85}-7}{2}<0$$

La solució que satisfà les dues desigualtats és x<\frac{-\sqrt{85}-7}{2}.

$$x<\frac{-\sqrt{85}-7}{2}$$

Considereu el cas en què x-\frac{\sqrt{85}-7}{2} i x-\frac{-\sqrt{85}-7}{2} són positius.

$$x-\frac{-\sqrt{85}-7}{2}>0 x-\frac{\sqrt{85}-7}{2}>0$$

La solució que satisfà les dues desigualtats és x>\frac{\sqrt{85}-7}{2}.

$$x>\frac{\sqrt{85}-7}{2}$$

La solució final és la unió de les solucions obtingudes.

$$x<\frac{-\sqrt{85}-7}{2}\text{; }x>\frac{\sqrt{85}-7}{2}$$