Resol 42x^2-5x-3=0

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

Resoleu x

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0,214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Passos amb factorització per agrupació

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a 42x^{2}+ax+bx-3. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

Com que ab és negatiu, a i b tenen els signes oposats. Com que a+b és negatiu, el número negatiu té un valor més absolut que el positiu. Llista de totes les parelles d'enters que donen -126 de producte.

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

La solució és la parella que atorga -5 de suma.

$$a=-14 b=9$$

Reescriviu 42x^{2}-5x-3 com a \left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right).

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

14x al primer grup i 3 al segon grup.

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

Simplifiqueu el terme comú 3x-1 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu 3x-1=0 i 14x+3=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 42 per a, -5 per b i -3 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Eleveu -5 al quadrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Multipliqueu -4 per 42.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Multipliqueu -168 per -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

Sumeu 25 i 504.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 529.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

El contrari de -5 és 5.

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

Multipliqueu 2 per 42.

$$x=\frac{5±23}{84}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{5±23}{84} quan ± és més. Sumeu 5 i 23.

$$x=\frac{28}{84}$$

Redueix la fracció \frac{28}{84} al màxim extraient i anul·lant 28.

$$x=\frac{1}{3}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{5±23}{84} quan ± és menys. Resteu 23 de 5.

$$x=-\frac{18}{84}$$

Redueix la fracció \frac{-18}{84} al màxim extraient i anul·lant 6.

$$x=-\frac{3}{14}$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Sumeu 3 als dos costats de l'equació.

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

En restar -3 a si mateix s'obté 0.

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

Resteu -3 de 0.

$$42x^{2}-5x=3$$

Dividiu els dos costats per 42.

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

En dividir per 42 es desfà la multiplicació per 42.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

Redueix la fracció \frac{3}{42} al màxim extraient i anul·lant 3.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

Dividiu -\frac{5}{42}, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir -\frac{5}{84}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre -\frac{5}{84} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

Per elevar -\frac{5}{84} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

Sumeu \frac{1}{14} i \frac{25}{7056} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

Factor x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

Simplifiqueu.

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

Sumeu \frac{5}{84} als dos costats de l'equació.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$