Resol 40x^2-14x+1=0

$$40 { x }^{ 2 } -14x+1=0$$

Resoleu x

$$x=\frac{1}{10}=0,1$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Passos amb factorització per agrupació

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a 40x^{2}+ax+bx+1. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=-14 ab=40\times 1=40$$

Com que ab és positiu, a i b tenen el mateix inici de sessió. Com que a+b és negatiu, a i b són ambdós negatius. Llista de totes les parelles d'enters que donen 40 de producte.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

La solució és la parella que atorga -14 de suma.

$$a=-10 b=-4$$

Reescriviu 40x^{2}-14x+1 com a \left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right).

$$\left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right)$$

10x al primer grup i -1 al segon grup.

$$10x\left(4x-1\right)-\left(4x-1\right)$$

Simplifiqueu el terme comú 4x-1 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(4x-1\right)\left(10x-1\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu 4x-1=0 i 10x-1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 40 per a, -14 per b i 1 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 40}}{2\times 40}$$

Eleveu -14 al quadrat.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 40}}{2\times 40}$$

Multipliqueu -4 per 40.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-160}}{2\times 40}$$

Sumeu 196 i -160.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{36}}{2\times 40}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 36.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±6}{2\times 40}$$

El contrari de -14 és 14.

$$x=\frac{14±6}{2\times 40}$$

Multipliqueu 2 per 40.

$$x=\frac{14±6}{80}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{14±6}{80} quan ± és més. Sumeu 14 i 6.

$$x=\frac{20}{80}$$

Redueix la fracció \frac{20}{80} al màxim extraient i anul·lant 20.

$$x=\frac{1}{4}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{14±6}{80} quan ± és menys. Resteu 6 de 14.

$$x=\frac{8}{80}$$

Redueix la fracció \frac{8}{80} al màxim extraient i anul·lant 8.

$$x=\frac{1}{10}$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

Resteu 1 als dos costats de l'equació.

$$40x^{2}-14x+1-1=-1$$

En restar 1 a si mateix s'obté 0.

$$40x^{2}-14x=-1$$

Dividiu els dos costats per 40.

$$\frac{40x^{2}-14x}{40}=-\frac{1}{40}$$

En dividir per 40 es desfà la multiplicació per 40.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{40}\right)x=-\frac{1}{40}$$

Redueix la fracció \frac{-14}{40} al màxim extraient i anul·lant 2.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x=-\frac{1}{40}$$

Dividiu -\frac{7}{20}, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir -\frac{7}{40}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre -\frac{7}{40} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}=-\frac{1}{40}+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}$$

Per elevar -\frac{7}{40} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=-\frac{1}{40}+\frac{49}{1600}$$

Sumeu -\frac{1}{40} i \frac{49}{1600} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=\frac{9}{1600}$$

Factor x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}=\frac{9}{1600}$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{1600}}$$

Simplifiqueu.

$$x-\frac{7}{40}=\frac{3}{40} x-\frac{7}{40}=-\frac{3}{40}$$

Sumeu \frac{7}{40} als dos costats de l'equació.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$