Resol 4x-5y=2text{and}x+10y=41

$$4 x - 5 y = 2 \text { and } x + 10 y = 41$$

Resoleu x, y

$$x=5$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3,6$$

Passos per utilitzar la substitució

Per resoldre un parell d'equacions mitjançant la substitució, en primer lloc resoleu una de les equacions per a una de les variables. A continuació, substituïu el resultat per aquesta variable a l'altra equació.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Trieu una de les equacions i resoleu el valor x mitjançant l'aïllament del valor x al costat esquerre del signe igual.

$$4x-5y=2$$

Sumeu 5y als dos costats de l'equació.

$$4x=5y+2$$

Dividiu els dos costats per 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+2\right)$$

Multipliqueu \frac{1}{4} per 5y+2.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}$$

Substituïu \frac{5y}{4}+\frac{1}{2} per x a l'altra equació, x+10y=41.

$$\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}+10y=41$$

Sumeu \frac{5y}{4} i 10y.

$$\frac{45}{4}y+\frac{1}{2}=41$$

Resteu \frac{1}{2} als dos costats de l'equació.

$$\frac{45}{4}y=\frac{81}{2}$$

Dividiu els dos costats de l'equació per \frac{45}{4}, que és el mateix que multiplicar els dos costats pel recíproc de la fracció.

$$y=\frac{18}{5}$$

Substituïu \frac{18}{5} per y a x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$x=\frac{5}{4}\times \frac{18}{5}+\frac{1}{2}$$

Per multiplicar \frac{5}{4} per \frac{18}{5}, multipliqueu el numerador pel numerador i el denominador pel denominador. A continuació, reduïu la fracció als termes més baixos sempre que sigui possible.

$$x=\frac{9+1}{2}$$

Sumeu \frac{1}{2} i \frac{9}{2} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$x=5$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

Passos per utilitzar l'amplificació per menors

Poseu les equacions en forma estàndard i feu servir matrius per resoldre el sistema d'equacions.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Escriviu les equacions en forma de matriu.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu la part esquerra de l'equació per la matriu inversa de la matriu \left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

El producte d'una matriu i la seva inversa és la matriu d'identitat.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius del costat esquerre del signe igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

La matriu inversa de la matriu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) és \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), per tant, l’equació matricial es pot reescriure com un problema de multiplicació de matriu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{4\times 10-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{4\times 10-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{4\times 10-\left(-5\right)}&\frac{4}{4\times 10-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\-\frac{1}{45}&\frac{4}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 2+\frac{1}{9}\times 41\\-\frac{1}{45}\times 2+\frac{4}{45}\times 41\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

Extraieu els elements de la matriu x i y.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

Passos per utilitzar l'eliminació

Per tal de calcular per eliminació, els coeficients d'una de les variables han de ser els mateixos a les dues equacions per tal que la variable s'anul·li quan una equació es resti de l'altra.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Per igualar 4x i x, multipliqueu tots els termes de cada costat de la primera equació per 1 i tots els termes de cada costat de la segona per 4.

$$4x-5y=2,4x+4\times 10y=4\times 41$$

Simplifiqueu.

$$4x-5y=2,4x+40y=164$$

Resteu 4x+40y=164 de 4x-5y=2 mitjançant la resta de termes iguals en cada costat del signe igual.

$$4x-4x-5y-40y=2-164$$

Sumeu 4x i -4x. Els termes 4x i -4x s'anul·len, allò que deixa una equació només amb una variable que es pot resoldre.

$$-5y-40y=2-164$$

Sumeu -5y i -40y.

$$-45y=2-164$$

Sumeu 2 i -164.

$$-45y=-162$$

Dividiu els dos costats per -45.

$$y=\frac{18}{5}$$

Substituïu \frac{18}{5} per y a x+10y=41. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$x+10\times \frac{18}{5}=41$$

Multipliqueu 10 per \frac{18}{5}.

$$x+36=41$$

Resteu 36 als dos costats de l'equació.

$$x=5$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$