Resol 4x-5y=-14text{and}7x+y=-5

$$4 x - 5 y = - 14 \text { and } 7 x + y = - 5$$

Resoleu x, y

$$x=-1$$

$$y=2$$

Passos per utilitzar la substitució

Per resoldre un parell d'equacions mitjançant la substitució, en primer lloc resoleu una de les equacions per a una de les variables. A continuació, substituïu el resultat per aquesta variable a l'altra equació.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Trieu una de les equacions i resoleu el valor x mitjançant l'aïllament del valor x al costat esquerre del signe igual.

$$4x-5y=-14$$

Sumeu 5y als dos costats de l'equació.

$$4x=5y-14$$

Dividiu els dos costats per 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y-14\right)$$

Multipliqueu \frac{1}{4} per 5y-14.

$$x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}$$

Substituïu \frac{5y}{4}-\frac{7}{2} per x a l'altra equació, 7x+y=-5.

$$7\left(\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}\right)+y=-5$$

Multipliqueu 7 per \frac{5y}{4}-\frac{7}{2}.

$$\frac{35}{4}y-\frac{49}{2}+y=-5$$

Sumeu \frac{35y}{4} i y.

$$\frac{39}{4}y-\frac{49}{2}=-5$$

Sumeu \frac{49}{2} als dos costats de l'equació.

$$\frac{39}{4}y=\frac{39}{2}$$

Dividiu els dos costats de l'equació per \frac{39}{4}, que és el mateix que multiplicar els dos costats pel recíproc de la fracció.

$$y=2$$

Substituïu 2 per y a x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$x=\frac{5}{4}\times 2-\frac{7}{2}$$

Multipliqueu \frac{5}{4} per 2.

$$x=\frac{5-7}{2}$$

Sumeu -\frac{7}{2} i \frac{5}{2} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$x=-1$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=-1,y=2$$

Passos per utilitzar l'amplificació per menors

Poseu les equacions en forma estàndard i feu servir matrius per resoldre el sistema d'equacions.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Escriviu les equacions en forma de matriu.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu la part esquerra de l'equació per la matriu inversa de la matriu \left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

El producte d'una matriu i la seva inversa és la matriu d'identitat.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius del costat esquerre del signe igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

La matriu inversa de la matriu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) és \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), per tant, l’equació matricial es pot reescriure com un problema de multiplicació de matriu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 7\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 7\right)}\\-\frac{7}{4-\left(-5\times 7\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{7}{39}&\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}\left(-14\right)+\frac{5}{39}\left(-5\right)\\-\frac{7}{39}\left(-14\right)+\frac{4}{39}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

Extraieu els elements de la matriu x i y.

$$x=-1,y=2$$

Passos per utilitzar l'eliminació

Per tal de calcular per eliminació, els coeficients d'una de les variables han de ser els mateixos a les dues equacions per tal que la variable s'anul·li quan una equació es resti de l'altra.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Per igualar 4x i 7x, multipliqueu tots els termes de cada costat de la primera equació per 7 i tots els termes de cada costat de la segona per 4.

$$7\times 4x+7\left(-5\right)y=7\left(-14\right),4\times 7x+4y=4\left(-5\right)$$

Simplifiqueu.

$$28x-35y=-98,28x+4y=-20$$

Resteu 28x+4y=-20 de 28x-35y=-98 mitjançant la resta de termes iguals en cada costat del signe igual.

$$28x-28x-35y-4y=-98+20$$

Sumeu 28x i -28x. Els termes 28x i -28x s'anul·len, allò que deixa una equació només amb una variable que es pot resoldre.

$$-35y-4y=-98+20$$

Sumeu -35y i -4y.

$$-39y=-98+20$$

Sumeu -98 i 20.

$$-39y=-78$$

Dividiu els dos costats per -39.

$$y=2$$

Substituïu 2 per y a 7x+y=-5. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$7x+2=-5$$

Resteu 2 als dos costats de l'equació.

$$7x=-7$$

Dividiu els dos costats per 7.

$$x=-1$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=-1,y=2$$