Resol 4x-3y=2text{and}x+5y=-11

$$4 x - 3 y = 2 \text { and } x + 5 y = - 11$$

Resoleu x, y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Passos per utilitzar la substitució

Per resoldre un parell d'equacions mitjançant la substitució, en primer lloc resoleu una de les equacions per a una de les variables. A continuació, substituïu el resultat per aquesta variable a l'altra equació.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Trieu una de les equacions i resoleu el valor x mitjançant l'aïllament del valor x al costat esquerre del signe igual.

$$4x-3y=2$$

Sumeu 3y als dos costats de l'equació.

$$4x=3y+2$$

Dividiu els dos costats per 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+2\right)$$

Multipliqueu \frac{1}{4} per 3y+2.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}$$

Substituïu \frac{3y}{4}+\frac{1}{2} per x a l'altra equació, x+5y=-11.

$$\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}+5y=-11$$

Sumeu \frac{3y}{4} i 5y.

$$\frac{23}{4}y+\frac{1}{2}=-11$$

Resteu \frac{1}{2} als dos costats de l'equació.

$$\frac{23}{4}y=-\frac{23}{2}$$

Dividiu els dos costats de l'equació per \frac{23}{4}, que és el mateix que multiplicar els dos costats pel recíproc de la fracció.

$$y=-2$$

Substituïu -2 per y a x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$x=\frac{3}{4}\left(-2\right)+\frac{1}{2}$$

Multipliqueu \frac{3}{4} per -2.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Sumeu \frac{1}{2} i -\frac{3}{2} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$x=-1$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=-1,y=-2$$

Passos per utilitzar l'amplificació per menors

Poseu les equacions en forma estàndard i feu servir matrius per resoldre el sistema d'equacions.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Escriviu les equacions en forma de matriu.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu la part esquerra de l'equació per la matriu inversa de la matriu \left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

El producte d'una matriu i la seva inversa és la matriu d'identitat.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius del costat esquerre del signe igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

La matriu inversa de la matriu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) és \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), per tant, l’equació matricial es pot reescriure com un problema de multiplicació de matriu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{4\times 5-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{4\times 5-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&\frac{3}{23}\\-\frac{1}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\times 2+\frac{3}{23}\left(-11\right)\\-\frac{1}{23}\times 2+\frac{4}{23}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Extraieu els elements de la matriu x i y.

$$x=-1,y=-2$$

Passos per utilitzar l'eliminació

Per tal de calcular per eliminació, els coeficients d'una de les variables han de ser els mateixos a les dues equacions per tal que la variable s'anul·li quan una equació es resti de l'altra.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Per igualar 4x i x, multipliqueu tots els termes de cada costat de la primera equació per 1 i tots els termes de cada costat de la segona per 4.

$$4x-3y=2,4x+4\times 5y=4\left(-11\right)$$

Simplifiqueu.

$$4x-3y=2,4x+20y=-44$$

Resteu 4x+20y=-44 de 4x-3y=2 mitjançant la resta de termes iguals en cada costat del signe igual.

$$4x-4x-3y-20y=2+44$$

Sumeu 4x i -4x. Els termes 4x i -4x s'anul·len, allò que deixa una equació només amb una variable que es pot resoldre.

$$-3y-20y=2+44$$

Sumeu -3y i -20y.

$$-23y=2+44$$

Sumeu 2 i 44.

$$-23y=46$$

Dividiu els dos costats per -23.

$$y=-2$$

Substituïu -2 per y a x+5y=-11. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$x+5\left(-2\right)=-11$$

Multipliqueu 5 per -2.

$$x-10=-11$$

Sumeu 10 als dos costats de l'equació.

$$x=-1$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=-1,y=-2$$