Resol 4x^2-4x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0$$

Resoleu x

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Passos amb factorització per agrupació

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a 4x^{2}+ax+bx+1. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=-4 ab=4\times 1=4$$

Com que ab és positiu, a i b tenen el mateix inici de sessió. Com que a+b és negatiu, a i b són ambdós negatius. Llista de totes les parelles d'enters que donen 4 de producte.

$$-1,-4 -2,-2$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

La solució és la parella que atorga -4 de suma.

$$a=-2 b=-2$$

Reescriviu 4x^{2}-4x+1 com a \left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right).

$$\left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right)$$

Simplifiqueu 2x al primer grup i -1 al segon grup.

$$2x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Simplifiqueu el terme comú 2x-1 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(2x-1\right)\left(2x-1\right)$$

Reescriviu com a quadrat del binomi.

$$\left(2x-1\right)^{2}$$

Per trobar la solució de l'equació, resoleu 2x-1=0.

$$x=\frac{1}{2}$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 4 per a, -4 per b i 1 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Eleveu -4 al quadrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

Multipliqueu -4 per 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

Sumeu 16 i -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 0.

$$x=-\frac{-4}{2\times 4}$$

El contrari de -4 és 4.

$$x=\frac{4}{2\times 4}$$

Multipliqueu 2 per 4.

$$x=\frac{4}{8}$$

Redueix la fracció \frac{4}{8} al màxim extraient i anul·lant 4.

$$x=\frac{1}{2}$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

Resteu 1 als dos costats de l'equació.

$$4x^{2}-4x+1-1=-1$$

En restar 1 a si mateix s'obté 0.

$$4x^{2}-4x=-1$$

Dividiu els dos costats per 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=-\frac{1}{4}$$

En dividir per 4 es desfà la multiplicació per 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=-\frac{1}{4}$$

Dividiu -4 per 4.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{4}$$

Dividiu -1, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir -\frac{1}{2}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre -\frac{1}{2} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Per elevar -\frac{1}{2} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

Sumeu -\frac{1}{4} i \frac{1}{4} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=0$$

Factoritzeu x^{2}-x+\frac{1}{4}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot factoritzar com a \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifiqueu.

$$x-\frac{1}{2}=0 x-\frac{1}{2}=0$$

Sumeu \frac{1}{2} als dos costats de l'equació.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{2}$$

L'equació ja s'ha resolt. Les solucions són les mateixes.

$$x=\frac{1}{2}$$