Resol 4x^2-12x-27=0

$$4 x ^ { 2 } - 12 x - 27 = 0$$

Resoleu x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4,5$$

Passos amb factorització per agrupació

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a 4x^{2}+ax+bx-27. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=-12 ab=4\left(-27\right)=-108$$

Com que ab és negatiu, a i b tenen els signes oposats. Com que a+b és negatiu, el número negatiu té un valor més absolut que el positiu. Llista de totes les parelles d'enters que donen -108 de producte.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

La solució és la parella que atorga -12 de suma.

$$a=-18 b=6$$

Reescriviu 4x^{2}-12x-27 com a \left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right).

$$\left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right)$$

2x al primer grup i 3 al segon grup.

$$2x\left(2x-9\right)+3\left(2x-9\right)$$

Simplifiqueu el terme comú 2x-9 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(2x-9\right)\left(2x+3\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu 2x-9=0 i 2x+3=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 4 per a, -12 per b i -27 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Eleveu -12 al quadrat.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Multipliqueu -4 per 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Multipliqueu -16 per -27.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+432}}{2\times 4}$$

Sumeu 144 i 432.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 576.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±24}{2\times 4}$$

El contrari de -12 és 12.

$$x=\frac{12±24}{2\times 4}$$

Multipliqueu 2 per 4.

$$x=\frac{12±24}{8}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{12±24}{8} quan ± és més. Sumeu 12 i 24.

$$x=\frac{36}{8}$$

Redueix la fracció \frac{36}{8} al màxim extraient i anul·lant 4.

$$x=\frac{9}{2}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{12±24}{8} quan ± és menys. Resteu 24 de 12.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Redueix la fracció \frac{-12}{8} al màxim extraient i anul·lant 4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Sumeu 27 als dos costats de l'equació.

$$4x^{2}-12x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

En restar -27 a si mateix s'obté 0.

$$4x^{2}-12x=-\left(-27\right)$$

Resteu -27 de 0.

$$4x^{2}-12x=27$$

Dividiu els dos costats per 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{27}{4}$$

En dividir per 4 es desfà la multiplicació per 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{27}{4}$$

Dividiu -12 per 4.

$$x^{2}-3x=\frac{27}{4}$$

Dividiu -3, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir -\frac{3}{2}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre -\frac{3}{2} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Per elevar -\frac{3}{2} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{27+9}{4}$$

Sumeu \frac{27}{4} i \frac{9}{4} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=9$$

Factor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=9$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Simplifiqueu.

$$x-\frac{3}{2}=3 x-\frac{3}{2}=-3$$

Sumeu \frac{3}{2} als dos costats de l'equació.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$