Resol 4x^2+8x-45<0

$$4 x ^ { 2 } + 8 x - 45 < 0$$

Resoleu x

$$x\in \left(-\frac{9}{2},\frac{5}{2}\right)$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Per resoldre la desigualtat, factoritzeu el costat esquerre. El polinomi quadràtic es pot factoritzar amb la transformació ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), on x_{1} i x_{2} són les solucions de l'equació quadràtica ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}+8x-45=0$$

Totes les equacions amb el format ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre mitjançant la fórmula quadràtica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substituïu 4 per a, 8 per b i -45 per c a la fórmula quadràtica.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\left(-45\right)}}{2\times 4}$$

Feu els càlculs.

$$x=\frac{-8±28}{8}$$

Resoleu l'equació x=\frac{-8±28}{8} considerant que ± és el signe més i ± és el signe menys.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{9}{2}$$

Reescriviu la desigualtat mitjançant les solucions obtingudes.

$$4\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x+\frac{9}{2}\right)<0$$

Perquè el producte sigui negatiu, x-\frac{5}{2} i x+\frac{9}{2} han de ser de signe oposat. Considereu el cas en què x-\frac{5}{2} és positiu i x+\frac{9}{2} és negatiu.

$$x-\frac{5}{2}>0 x+\frac{9}{2}<0$$

Això és fals per a qualsevol x.

$$x\in \emptyset$$

Considereu el cas en què x+\frac{9}{2} és positiu i x-\frac{5}{2} és negatiu.

$$x+\frac{9}{2}>0 x-\frac{5}{2}<0$$

La solució que satisfà les dues desigualtats és x\in \left(-\frac{9}{2},\frac{5}{2}\right).

$$x\in \left(-\frac{9}{2},\frac{5}{2}\right)$$

La solució final és la unió de les solucions obtingudes.

$$x\in \left(-\frac{9}{2},\frac{5}{2}\right)$$