Resol 4x^2+48x-81=0

$$4 x ^ { 2 } + 48 x - 81 = 0$$

Resoleu x

$$x = -\frac{27}{2} = -13\frac{1}{2} = -13,5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Passos amb factorització per agrupació

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a 4x^{2}+ax+bx-81. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=48 ab=4\left(-81\right)=-324$$

Com que ab és negatiu, a i b tenen els signes oposats. Com que a+b és positiu, el número positiu té més valor absolut que el negatiu. Llista de totes les parelles d'enters que donen -324 de producte.

$$-1,324 -2,162 -3,108 -4,81 -6,54 -9,36 -12,27 -18,18$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$-1+324=323 -2+162=160 -3+108=105 -4+81=77 -6+54=48 -9+36=27 -12+27=15 -18+18=0$$

La solució és la parella que atorga 48 de suma.

$$a=-6 b=54$$

Reescriviu 4x^{2}+48x-81 com a \left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right).

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right)$$

2x al primer grup i 27 al segon grup.

$$2x\left(2x-3\right)+27\left(2x-3\right)$$

Simplifiqueu el terme comú 2x-3 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+27\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu 2x-3=0 i 2x+27=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 4 per a, 48 per b i -81 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Eleveu 48 al quadrat.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Multipliqueu -4 per 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Multipliqueu -16 per -81.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+1296}}{2\times 4}$$

Sumeu 2304 i 1296.

$$x=\frac{-48±\sqrt{3600}}{2\times 4}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 3600.

$$x=\frac{-48±60}{2\times 4}$$

Multipliqueu 2 per 4.

$$x=\frac{-48±60}{8}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{-48±60}{8} quan ± és més. Sumeu -48 i 60.

$$x=\frac{12}{8}$$

Redueix la fracció \frac{12}{8} al màxim extraient i anul·lant 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{-48±60}{8} quan ± és menys. Resteu 60 de -48.

$$x=-\frac{108}{8}$$

Redueix la fracció \frac{-108}{8} al màxim extraient i anul·lant 4.

$$x=-\frac{27}{2}$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Passos per calcular el quadrat

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Sumeu 81 als dos costats de l'equació.

$$4x^{2}+48x-81-\left(-81\right)=-\left(-81\right)$$

En restar -81 a si mateix s'obté 0.

$$4x^{2}+48x=-\left(-81\right)$$

Resteu -81 de 0.

$$4x^{2}+48x=81$$

Dividiu els dos costats per 4.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{81}{4}$$

En dividir per 4 es desfà la multiplicació per 4.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{81}{4}$$

Dividiu 48 per 4.

$$x^{2}+12x=\frac{81}{4}$$

Dividiu 12, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir 6. A continuació, sumeu el quadrat del nombre 6 als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$x^{2}+12x+6^{2}=\frac{81}{4}+6^{2}$$

Eleveu 6 al quadrat.

$$x^{2}+12x+36=\frac{81}{4}+36$$

Sumeu \frac{81}{4} i 36.

$$x^{2}+12x+36=\frac{225}{4}$$

Factor x^{2}+12x+36. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

Simplifiqueu.

$$x+6=\frac{15}{2} x+6=-\frac{15}{2}$$

Resteu 6 als dos costats de l'equació.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$